线性代数

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几何解释

方阵乘法的意义

对于方阵 $A,B$ ，表达式 $B(AX)$ 表示在新基 $B$ 下坐标为在新基 $A$ 下坐标为 $X$ 的坐标的坐标

$(BA)X$ 表示 $A$ 中的每一个列向量在新基 $B$ 下对应的向量构成的一组基下坐标为 $X$ 的坐标

表明矩阵的乘法是线性变换的依次进行的等价线性变换

行列式的几何意义

一个 $2\times2$ 的方阵 $A$ 的行列式反应了面积被放大了几倍，即原来在正交基下面积为 $S$ 的图形在经过该方阵线性变换后，面积变为了 $\det(A)\cdot S$

一个 $3\times3$ 的方阵 $A$ 的行列式反应了体积被放大了几倍，即原来在正交基下体积为 $V$ 的图形在经过该方阵线性变换后，体积变为了 $\det(A)\cdot V$

考虑 $n$ 维空间中的一组标准正交基 $\{i_1,i_2,\cdots,i_n\}$ ，空间中的任意一个向量都可以表示为 $\vec{v}=k_1i_1+k_2i_2+\cdots+k_ni_n$ ，则对于 $n$ 个向量 $\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$ ，记它们围成的体积为 $V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})$ ，则 $V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})$ 满足以下性质：

$V(i_1,i_2,\cdots,i_n)=1$

$V(\vec{v_1},\vec{v_1},\cdots,\vec{v_n})=0$

$\begin{aligned}V(c\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=cV(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})\end{aligned}$

$V(\vec{v_1}+\vec{u},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})+V(\vec{u},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})$

$V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=-V(\vec{v_2},\vec{v_1},\cdots,\vec{v_n})$

根据以上几条性质，对于 $V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})$ 展开：

$V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=V(k_{11}i_1+\cdots+k_{1n}i_n,k_{21}i_1+\cdots+k_{2n}i_n,\cdots,k_{n1}i_1+\cdots+k_{nn}i_n)$

得到的结果与行列式的定义推导是一致的，由此还可以推导克拉默法则

非方阵的矩阵乘法

一个 $m\times n$ 的矩阵，若 $m>n$ 则表示了从低维倾斜到高维空间的线性变换，若 $m<n$ 则表示了从高维压缩到低维空间的线性变换

向量点乘的解释

可以将 $\alpha\cdot\beta$ 中的向量 $\alpha$ 看作线性变换，设 $\alpha=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}$ ，则有

$\begin{aligned}\alpha\cdot\beta&=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1&y_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\begin{bmatrix}u_x&u_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}\\&=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\times\sqrt{x_2^2+y_2^2}\times\cos{\theta}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2\end{aligned}$

其中 $u_x,u_y$ 分别代表了 $x,y$ 轴上的单位向量在经过线性变换后在向量 $x$ 所在直线上的坐标

特征值与特征向量

特征向量是在经过方阵对应的线性变换之后方向不变的向量,特征值是缩放的倍数

矩阵的相似

对于 $A=PBP^{-1}$ 可以解读为：将基更换为 $P$ 后再进行线性变换 $B$ ，再更换为原来的基

行列式

行列式的定义

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}\end{aligned}$

行列式的性质

性质1 转置不改变行列式

性质2 如果行列式中两行（或列）互换，行列式只改变符号

性质3 行列式如果有两行（或列）对应元素相等，则行列式为 $0$

性质4 以数 $k$ 乘行列式中某一行（或列）中所有元素，等于用 $k$ 去乘此行列式

性质5 若行列式中某一行（或列）的元素全为 $0$ ，则行列式为 $0$

性质6 若行列式中有两行（或列）元素对应成比例，则行列式为 $0$

性质7 行（或列）可拆分为多组后相加，分行（或列）相加性

性质8 行列式的某一行（或列）元素加上另一行（或列）元素的 $k$ 倍，行列式不变

性质9 $n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|_n$ 等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

性质10 $n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|_n$ 中某一行（或列）的各元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 $0$

性质11（Laplace定理） 设 $D$ 为 $n$ 阶行列式，任取定其中 $k$ 行（列），由这 $k$ 行（列）构成的一切 $k$ 阶子式 $N_1,N_2,\cdots,N_t$ 与它们对应的代数余子式 $A_1,A_2,\cdots,A_t$ 乘积之和等于 $D$ ，即 $D=N_1A_1+N_2A_2+\cdots+N_tA_t$ ,有如下推论:

$\begin{vmatrix}A_{r\times r}&C_{r\times s}\\O&B_{s\times s}\end{vmatrix}=|A_{r\times r}||B_{s\times s}|$

$\begin{vmatrix}O&A_{r\times r}\\B_{s\times s}&C_{s\times r}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}C_{r\times s}&A_{r\times r}\\B_{s\times s}&O\end{vmatrix}=(-1)^{rs}|A_{r\times r}||B_{s\times s}|$

性质12 两个 $n$ 阶方阵乘积的行列式等于行列式的乘积，即 $|AB|=|A||B|$

证明:

性质13 设 $A_1,A_2,\cdots,A_m$ 都是 $n$ 阶方阵，则 $|A_1A_2\cdots A_m|=|A_1||A_2|\cdots|A_m|$

范德蒙德行列式

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(a_j-a_i)\end{aligned}$

矩阵

矩阵的性质

性质1（转置）

$\begin{aligned}&(A^\mathrm{T})^\mathrm{T}=A\qquad(A+B)^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}\qquad(kA)^\mathrm{T}=kA^\mathrm{T}\\&|A|=|A^\mathrm{T}|\qquad(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}\end{aligned}$

性质2（对称）

对称矩阵的和、数量乘积、方幂仍为对称矩阵，反对称矩阵的和、数量乘积仍为反对称矩阵

反对称矩阵的奇数次幂为反对称矩阵，偶数次幂为对称矩阵

对于任意方阵 $A$ ，$A+A^\mathrm{T}$ 为对称矩阵，$A-A^\mathrm{T}$ 为反对称矩阵

奇数阶反对称矩阵的行列式为 $0$

性质3（迹）

$n$ 阶方阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ 主对角线上元素之和称为矩阵 $A$ 的迹，且记为 $\begin{aligned}\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}\end{aligned}$ ，设 $A,B$ 分别为 $m\times n$ 及 $n\times m$ 矩阵，则有 $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$

不存在 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB-BA=E$

性质4（逆矩阵）

$n$ 阶方阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A|\not=0$ ，且当 $A$ 可逆时有

$(A^{-1})^{-1}=A\qquad(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}\qquad(A^\mathrm{T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}\qquad|A^{-1}|=|A|^{-1}$

性质5（准对角矩阵）

准对角矩阵 $A=\begin{bmatrix}A_1&O&\cdots&O\\O&A_2&\cdots&O\\\vdots&\vdots&&\vdots\\O&O&\cdots&A_t\end{bmatrix}$ 可记为 $A=\mathrm{diag}[A_1,A_2,\cdots,A_t]$

有 $AB=\mathrm{diag}[A_1B_1,A_2B_2,\cdots,A_tB_t]\qquad|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_t|$

$A^{-1}=\mathrm{diag}[A_1^{-1},A_2^{-1},\cdots,A_t^{-1}]$

初等矩阵定义

互换 $E(i,j)\qquad E^{-1}(i,j)=E(i,j)$

倍乘 $E(i(k))\qquad E^{-1}(i(k))=E(i(\dfrac{1}{k}))$

倍加 $E(i+j(k),j)\qquad E^{-1}(i+j(k),j)=E(i+j(-k),j)$

对矩阵 $A_{m\times n}$ 施行一次初等行变换相当于在 $A_{m\times n}$ 左乘一个相应的 $m$ 阶初等矩阵

对矩阵 $A_{m\times n}$ 施行一次初等列变换相当于在 $A_{m\times n}$ 右乘一个相应的 $n$ 阶初等矩阵

初等矩阵性质

性质1
设 $A_{m\times n}$ 是秩为 $r$ 的矩阵，则存在 $m$ 阶初等矩阵 $P_1,P_2,\cdots,P_s$， $n$ 阶初等矩阵 $Q_1,Q_2,\cdots Q_t$ 使得 $P_s\cdots P_2P_1AQ_1Q_2\cdots Q_t=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}$

性质2
设 $A_{m\times n}$ 是秩为 $r$ 的矩阵，则存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$， $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ 使 $PAQ=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}$

性质3
$A$ 是可逆矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 可以表示为初等矩阵的乘积
$A$ 仅通过初等行（或列）变换即可化为单位矩阵

性质4
若 $A,B$ 均为可逆矩阵，则有 $r(AC)=r(C),r(CB)=r(C),r(ACB)=r(C)$
设 $C$ 为可逆矩阵，$A,B$ 不一定为可逆矩阵，则 $r(ACB)$ 和 $r(AB)$ 不一定相等

秩的性质

性质1 $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$

性质2 $r(A)+r(B)-n\leq r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$

证明： $G=\begin{bmatrix}E_n&O\\O&AB\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}E_n&O\\A&AB\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}E_n&-B\\A&O\end{bmatrix}=H$

则有 $r(AB)+n=r(G)=r(H)\geq r(A)+r(B)$

性质3 $r(\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix})=r(\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix})=r(A)+r(B)$

性质4 若 $A$ 为列满秩矩阵，则 $r(AB)=r(B)$，若 $B$ 为行满秩矩阵，则 $r(AB)=r(A)$

性质5 $r(AB)+r(BC)\leq r(B)+r(ABC)$

证明：$G=\begin{bmatrix}B&O\\O&ABC\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}B&O\\AB&ABC\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}B&-BC\\AB&O\end{bmatrix}=H$

则有 $r(B)+r(ABC)=r(G)=r(H)\geq r(AB)+r(BC)$

线性空间

线性空间的性质

性质1 一个向量组中有部分向量组线性相关，则向量组线性相关

性质2 一个向量组线性无关，则其任何一个部分向量组必线性无关

性质3 任何一个包含零向量的向量组必线性相关

性质4 一个向量 $\alpha$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\alpha=\theta$

性质5 一个向量 $\alpha$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $\alpha\not=\theta$

性质6 若两个向量组可以相互表示，则称这两个向量组等价，任意两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相等

过渡矩阵

设 $(\mathrm{I}):\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots\varepsilon_n$ 与 $(\mathrm{II}):\varepsilon’_1,\varepsilon’_2,\cdots\varepsilon’_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基， $\varepsilon_i’$ 表示为：

$\begin{cases}\varepsilon’_1=m_{11}\varepsilon_1+m_{21}\varepsilon_2+\cdots+m_{n1}\varepsilon_n\\\varepsilon’_2=m_{12}\varepsilon_1+m_{22}\varepsilon_2+\cdots+m_{n2}\varepsilon_n\\\qquad\cdots\cdots\cdots\cdots\\\varepsilon’_n=m_{1n}\varepsilon_1+m_{2n}\varepsilon_2+\cdots+m_{nn}\varepsilon_n\end{cases}$

则矩阵 $M=\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1n}\\m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\m_{n1}&m_{n2}&\cdots&m_{nn}\end{bmatrix}$ 称为基 $(\mathrm{I})$ 到基 $(\mathrm{II})$ 的过渡矩阵

有 $[\varepsilon’_1,\varepsilon’_2,\cdots\varepsilon’_n]=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots\varepsilon_n]M$

设向量 $\alpha$ 在基 $(\mathrm{I})$ 和基 $(\mathrm{II})$ 下的坐标分别为 $X_\mathrm{I}$ 和 $X_\mathrm{II}$

$X_\mathrm{I}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^{\mathrm{T}},X_\mathrm{II}=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^{\mathrm{T}}$

则有 $X_\mathrm{I}=MX_\mathrm{II},X_\mathrm{II}=M^{-1}X_\mathrm{I}$ 称为基变换公式

可以理解为 $M$ 是在用 $(\mathrm{I})$ 的语言去解读 $(\mathrm{II})$

平凡子空间与非平凡子空间

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，由零向量单独组成的集合 $\{\theta\}$ 及 $V$ 自身均为 $V$ 的子空间，

这两个子空间称为 $V$ 的平凡子空间，而其它子空间称为非平凡子空间（真子空间）

生成子空间

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 是 $V$ 中的一组向量，记

$L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t)=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_t\alpha_t|k_1,k_2,\cdots,k_t\in P\}$

称为由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 生成的子空间

欧氏空间

设 $V$ 是实数域 $\mathrm{R}$ 上的一个线性空间，如果对于 $V$ 中任意两个向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 都有唯一确定的记为 $(\alpha,\beta)$ 的实数与它们对应，且具有以下性质：

$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\qquad(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)\qquad(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$

$(\alpha,\alpha)\geq0$ 且 $(\alpha,\alpha)=0\Leftrightarrow\alpha=\theta$

则称 $(\alpha,\beta)$ 是向量 $\alpha,\beta$ 的内积，具有内积的实线性空间 $V$ 称为欧几里得空间

欧氏空间的内积具有对称性，双线性性和正定性

对于欧氏空间 $V$ 中任意两个向量 $\alpha,\beta$ 恒有 $|(\alpha,\beta)|\leq||\alpha||\cdot||\beta||$

柯西不等式与施瓦茨不等式

$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$

$\begin{aligned}\left|\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x\right|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x\int_a^bg^2(x)\mathrm{d}x}\end{aligned}$

度量矩阵

设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，在 $V$ 中取一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ，对 $V$ 中任意两个向量 $\begin{aligned}\alpha=\sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\quad\beta=\sum_{j=1}^ny_j\varepsilon_j\end{aligned}$ ，由内积性质得

$\begin{aligned}(\alpha,\beta)=(\sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\sum_{j=1}^ny_j\varepsilon_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_j(\varepsilon_i,\varepsilon_j)\end{aligned}$

记 $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=a_{ij}$ 则有 $A$ 为实对称矩阵，称为该基的度量矩阵

$\begin{aligned}\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_j(\varepsilon_i,\varepsilon_j)\end{aligned}$

格拉姆行列式

度量矩阵对应的行列式称为格拉姆行列式，几何意义为基围成的平行体体积的平方

特征值与特征向量

特征值与特征向量的性质

性质1

$\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值的充要条件为 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 的一个根, $|\lambda_0E-A|=0$

若 $\lambda_0$ 是 $A$ 的一个特征值，则属于 $\lambda_0$ 的特征向量全体是 $(\lambda_0E-A)X=O$ 的非零解**

性质2

方阵 $A$ 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的

证明：假设有 $k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{s-1}\xi_{s-1}+k_s\xi_s=O$

原式左右同乘 $\lambda_s$ 得 $k_1\lambda_s\xi_1+k_2\lambda_s\xi_2+\cdots+k_{s-1}\lambda_s\xi_{s-1}+k_s\lambda_s\xi_s=O$

原式左右同左乘 $A$ 得 $k_1\lambda_1\xi_1+k_2\lambda_2\xi_2+\cdots+k_{s-1}\lambda_{s-1}\xi_{s-1}+k_s\lambda_s\xi_s=O$

相减得 $k_1(\lambda_s-\lambda_1)\xi_1+k_2(\lambda_s-\lambda_2)\xi_2+\cdots+k_{s-1}(\lambda_s-\lambda_{s-1})\xi_{s-1}=O$

归纳法假设 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{s-1}$ 线性无关，则 $k_i(\lambda_i-\lambda_i)=0\Rightarrow k_i=0\Rightarrow$ $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ 线性无关

性质3

$A$ 与对角矩阵相似的充要条件是 $A$ 的特征值重根数之和为 $n$，则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$ ，若令 $P=\begin{bmatrix}\xi_1&\xi_2&\cdots&\xi_n\end{bmatrix}$ ，则有 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]$ 对应

性质4

设 $A=[a_{ij}]$ 为 $n$ 阶方阵， $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$

则 $\begin{aligned}\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\end{aligned}\qquad|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$

性质5

设 $f(x)=a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0$ 是数域 $P$ 上的一个多项式， $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，若 $\xi_0$ 是 $A$ 关于特征值 $\lambda_0$ 的一个特征向量，则 $f(\lambda_0)$ 也是 $f(A)$ 的特征值，$\xi_0$ 是 $f(A)$ 的特征向量

性质6

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A$ 的特征值均不为 $0$ ，若 $\lambda_0$ 是 $A^{-1}$ 的一个特征值，则 $\lambda_0^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的一个特征值，若 $\xi$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_0$ 的特征向量，则 $\xi$ 也是 $A^{-1}$ 的属于 $\lambda_0^{-1}$ 的特征向量

相似矩阵

性质1

相似矩阵有相同的特征多项式，即若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$

$|\lambda E-B|=|\lambda E-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda E-A)P|=|\lambda E-A|$

性质2

相似矩阵有相同的迹和行列式

性质3

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_k$ 均为数域 $P$ 中的任意数，若 $A,B$ 相似：

$A^2$ 与 $B^2$ 相似，$A^3$ 与 $B^3$ 相似，……，$A^k$ 与 $B^k$ 相似

$f(x)=a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0$ ，有 $f(A)$ 与 $f(B)$ 相似

性质4

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，全体特征根为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ （重根按重数计），若 $A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]$ ，则有

$f(A)=P\mathrm{diag}[f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)]P^{-1}$

实对称矩阵的对角化

性质1

实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量都是 $n$ 元实向量

先取共轭再乘转置： $A\xi=\lambda\xi\Rightarrow\bar{A}\bar{\xi}=\bar{\lambda}\bar{\xi}\Rightarrow A\bar{\xi}=\bar{\lambda}\bar{\xi}\Rightarrow\xi^{\mathrm{T}}A\bar{\xi}=\bar{\lambda}\xi^{\mathrm{T}}\bar{\xi}$

先取转置再乘共轭：$A\xi=\lambda\xi\Rightarrow\xi^{\mathrm{T}}A^\mathrm{T}=\lambda\xi^{\mathrm{T}}\Rightarrow\xi^{\mathrm{T}}A=\lambda\xi^{\mathrm{T}}\Rightarrow\xi^{\mathrm{T}}A\bar{\xi}=\lambda\xi^{\mathrm{T}}\bar{\xi}$

则 $(\bar{\lambda}-\lambda)\xi^{\mathrm{T}}\bar{\xi}=0$ $\lambda$ 为实数，$\xi\in\mathrm{R}^n$

性质2

对称矩阵的不同特征值的特征向量一定正交

设 $\xi_1,\xi_2$ 分别是 $A$ 的属于不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特征向量，则有

$A\xi_1=\lambda_1\xi_1,\xi_1\in\mathrm{R}^n\qquad A\xi_2=\lambda_2\xi_2,\xi_2\in\mathrm{R}^n$

$(A\xi_1,\xi_2)=(\lambda_1\xi_1,\xi_2)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2)$

$(A\xi_1,\xi_2)=(A\xi_1)^{\mathrm{T}}\xi_2=\xi_1^{\mathrm{T}}(A\xi_2)=\xi_1^\mathrm{T}(\lambda_2\xi_2)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2)$

则有 $(\lambda_1-\lambda_2)(\xi_1,\xi_2)=0$ 则 $\xi_1,\xi_2$ 正交

二次型

二次型的性质

性质1

数域 $P$ 上任意一个二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 都可经 $P$ 上非退化线性替换为标准型 $d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2$

性质2

$\begin{aligned}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\end{aligned}$

记 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则 $A$ 为对称矩阵，称为二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的矩阵

性质3

$P^{n\times n}$ 中任意一个对称矩阵 $A$ ，存在 $P^{n\times n}$ 可逆矩阵 $C$ 使 $C^\mathrm{T}AC$ 为对角阵

矩阵的合同

性质1

若 $A,B\in P^{n\times n}$ 存在可逆矩阵 $C\in P^{n\times n}$ 使 $C^{\mathrm{T}}AC=B$ 则称 $A,B$ 合同

性质2

自反性：任意矩阵 $A$ 与自身合同

对称性：若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 合同

传递性：若 $A$ 与 $B$ 合同，$B$ 与 $C$ 合同，则 $A$ 与 $C$ 合同

性质3

若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $r(A)=r(B)$ ，若 $A$ 是对称矩阵则 $B$ 也为对称矩阵

性质4

$P^{n\times n}$ 中任意一个对称矩阵 $A$ 均与对角阵合同，这个对角阵称为 $A$ 的合同标准型

性质5

任意一个实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^{\mathrm{T}}AX$ 都可经非退化的实线性替换 $X=UY$ 化为 $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$ ,其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为 $A$ 的全部特征值， $U$ 为正交矩阵，并称线性替换 $X=UY$ 为正交线性替换

二次型的规范性

二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的标准形中，系数不为 $0$ 的平方项个数等于该二次型的矩阵的秩

复数域

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_n^2$

任何一个复二次型经过适当的非退化复线性替换可化为规范形，规范形唯一，由秩确定

$C^{n\times n}$ 上任意秩为 $r$ 的对称矩阵与 $\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}$ 合同

实数域

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2$

正平方项的个数 $p$ 称为正惯性系数，负平方项的个数 $r-p$ 称为负惯性系数，差值为符号差

实二次型经过非退化的实线性替换化为标准形或规范形，它的秩、正惯性指数及负惯性指数不变

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 与对角矩阵 $\mathrm{diag}[a_1,a_2,\cdots,a_n]$ 合同时，$a_i$ 中不为零的个数，正数的个数，负数的个数都是唯一的

性质

若 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A,B$ 在实数域合同 $\Leftrightarrow$ $A,B$ 有相同的秩和正负惯性指数

正定二次型

设二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^{\mathrm{T}}AX$ 如果对于任意实向量 $X\not=O$ 有

$f>0$ 则称 $f$ 为正定的，规范形为 $y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$

$f<0$ 则称 $f$ 为负定的

$f\geq0$ 则称 $f$ 为半正定的

$f\leq0$ 则称 $f$ 为半负定的

性质1

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 负定 $\Leftrightarrow$ $-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 正定

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 半负定 $\Leftrightarrow$ $-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 半正定

性质2

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 正定

$\Leftrightarrow$ $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 正惯性指数为 $n$

$\Leftrightarrow$ $A$ 特征值均大于零

$\Leftrightarrow$ 存在 $n$ 阶可逆实矩阵，使 $A=B^{\mathrm{T}}B$

性质3

$A$ 是正定矩阵

$\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值全大于 $0$

$\Leftrightarrow$ 存在可逆的实矩阵 $B$ 使 $A=B^{\mathrm{T}}B$

$\Leftrightarrow$ $A$ 与单位矩阵 $E$ 合同

性质4

在 $n$ 阶矩阵 $A$ 中由第 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ 行和第 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ 列组成的 $k$ 阶子式称为 $k$ 阶主子式

特别地，当 $i_1=1,i_2=2,\cdots,i_k=k$ 时称为 $k$ 阶顺序主子式，记为 $\Delta_k$

则实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^{\mathrm{T}}AX$ 为正定二次型 $\Leftrightarrow$ $A$ 的所有顺序主子式均大于零

实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^{\mathrm{T}}AX$ 是负定的 $\Leftrightarrow$ $(-1)^k\Delta_k>0$

性质5

设秩为 $r$ 的实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^{\mathrm{T}}AX$ ，则

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是半正定的

$\Leftrightarrow$ $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的正惯性指数为 $r$

$\Leftrightarrow$ $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2+\cdots+y_r^2$

$\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值均为非负的

$\Leftrightarrow$ 存在 $n$ 阶实矩阵 $C$ 使得 $A=C^\mathrm{T}C$

$\Leftrightarrow$ $A$ 与 $\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}$ 合同

$\Leftrightarrow$ $A$ 的所有主子式非负

性质6

设 $A$ 是正定矩阵，则有

$kA$ 为正定矩阵， $k$ 为任意正实数

$A^{-1}$ 为正定矩阵

证明：$X^\mathrm{T}AX>0$ 对任意 $X$ 成立，取 $Y=A^{-1}X$ 有

$(A^{-1}X)^\mathrm{T}A(A^{-1}X)=X^{\mathrm{T}}A^{-1}AA^{-1}X=X^{-1}AX>0$

$A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为正定矩阵

$A^k$ 为正定矩阵，$k$ 为任意正整数

$C^\mathrm{T}AC$ 为正定矩阵，$C$ 为可逆实矩阵（非退化的实线性替换不改变正定性）

性质7

设 $A,B$ 为同阶的正定矩阵，则有

$A+B$ 为正定矩阵，$\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}$ 为正定矩阵

解题技巧

爪型行列式

当 $a_i\not=0$ 时，$\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_0&b_1&b_2&\cdots&b_n\\c_1&a_1\\c_2&&a_2\\\vdots&&&\ddots\\c_n&&&&a_n\end{vmatrix}=(a_0-\sum_{i=1}^n\frac{b_ic_i}{a_i})\prod_{i=1}^na_i\end{aligned}$

加边法

加边使 $n$ 阶行列式变为 $n+1$ 阶，通过增加的一行或一列消去其它行或列的共同元素

特殊矩阵的特征值与特征向量

若 $A=\begin{bmatrix}A_1\\&A_2\\&&\ddots\\&&&A_s\end{bmatrix}$ ，其中 $A_i$ 均为方阵，则 $A$ 的特征值是所有 $A_i$ 特征值的并集

上述结论当 $A$ 分块阵为上三角或者下三角时仍然成立

易错点1

若 $A$ 的特征值中存在 $k$ 个 $0$ ,则 $r(A)=n-k$ 是错误的

解释：特征值为 $0$ 的子空间就是 $A$ 的解空间，而特征值 $0$ 是 $k$ 重根不代表几何重数也为 $k$

特征值对应的特征向量个数

特征值 $\lambda$ 对应的特征向量个数为 $n-r(\lambda E-A)$

易错点2

只有对称矩阵才能通过判断正负惯性系数是否相等来判断是否合同，对于一般矩阵只能定义判断

特殊特征向量

若 $\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，则 $A$ 的每一行之和都相等

验证正定性

正定性的来源是所有特征向量的特征值都为正数，要验证 $A$ 为正定矩阵，则验证 $X^{\mathrm{T}}AX>0$

已知 $A,B$ 正定，$AB=BA$ ，则 $AB$ 也正定 $AB\xi=\lambda\xi\Rightarrow\xi^{\mathrm{T}}B\xi=\lambda\xi^\mathrm{T}A^{-1}\xi$

验证特征值的一致性

若题设要求验证两矩阵特征根某性质的一致性，可以验证两矩阵相似

维度公式

对于矩阵 $A\in\mathrm{R}^{m\times n}$ 有 $r(A)+\dim(\ker(A))=n$ ，其中 $\ker(A)$ 表示零空间

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