微积分甲II

Chapter-7 空间曲面方程

矢量的矢量积

$a\times b=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}i-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}k=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_2\end{vmatrix}$
矢量积所得的矢量垂直于 $a,b$ 构成的平面

矢量的混合积

$a\cdot(b\times c)=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}$

三矢量的二重矢积

$a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c$

平面的方程表示

任何平面都可用关于 $x,y,z$ 的一次方程 $Ax+By+Cz+D=0$ （其中 $A,B,C$ 不全为零）来表示，而 $Ax+By+Cz+D=0$ 表示一张以 $f=Ai+Bj+Ck$ 为法矢量的平面

直线的方程表示

• 直线的点向式方程 $\begin{aligned}\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\end{aligned}$
• 直线的参数式方程 $\begin{cases}x=x_0+lt\\y=y_0+mt\\z=z_0+nt\end{cases}$
• 直线的两点式方程 $\begin{aligned}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\end{aligned}$
• 直线的一般式方程 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$
• 直线一般式方程的方向矢量为 $\begin{vmatrix}i&j&k\\A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\end{vmatrix}$

直线的方向矢量为 $v=li+mj+nk$
过点 $P$ 作与直线垂直的平面方程为 $l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$

平面束方程

记直线 $L$ 的一般式方程为 $L:\begin{cases}\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$
设 $\lambda,\mu$ 为不同时为零的任意实数，则 $\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$
就表示以 $L$ 为轴的平面束方程

曲面方程

在空间直角坐标系中，如果某个曲面上任意点的坐标都满足方程 $F(x,y,z)=0$ ，而不在该曲面上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程 $F(x,y,z)=0$ 称为该曲面方程

球面方程：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

柱面方程

一条动直线 $L$ 沿一定曲线 $\Gamma$ 平行移动所成的曲面称为柱面，并称动直线 $L$ 为该柱面的母线，称定曲线 $\Gamma$ 为该柱面的准线

以 $Oxy$ 平面的曲线 $\Gamma:F(x,y)$ 为准线，母线 $L$ 的方向矢量为 $v=ai+bj+ck,(c\neq 0)$ 的柱面方程为 $\begin{aligned}F(x-\frac{a}{c}z,y-\frac{b}{c}z)=0\end{aligned}$

由平行于 $Oz$ 轴的直线沿曲线 $\Gamma$ 平行移动所生成的曲面称为母线平行于 $Oz$ 轴的柱面

锥面方程

过空间一定点 $O$ 的动直线 $L$ ，沿空间曲线 $\Gamma$（不过定点 $O$ ）移动所生成的曲线称为锥面，其中动直线 $L$ 称为该锥面的母线，曲线 $\Gamma$ 称为该锥面的准线，$O$ 称为该锥面的顶点
锥面的准线取平面曲线，以 $z=h,(h\neq0)$ 平面上的曲线 $\Gamma:F(x,y)=0$ 为准线，以原点为顶点的锥面方程为 $\begin{aligned}F(\frac{h}{z}x,\frac{h}{z}y)=0\end{aligned}$

旋转曲面方程

一曲线 $\Gamma$ 绕一定直线 $L$ 旋转而生成的曲面叫做旋转曲面，其中定直线 $L$ 称为旋转曲面的轴
设 $\Gamma$ 为 $Oyz$ 平面上的曲线，其方程为 $F(y,z)=0$ ，将该曲线绕 $Oz$ 旋转，就得到一个以 $Oz$ 轴为轴的旋转曲面，其方程为 $F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$

空间曲线方程

任意空间曲线总可以看成两曲面的交线，设 $F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$ 表示两曲面的方程，它们相交，且交线是曲线 $\Gamma$ ，则 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$
空间曲线也可用参数方程来表示，其一般形式是$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}$
将 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ 方程中消去一个变量，得到的就是对应轴的投影柱面

空间曲线在坐标平面上的投影

空间曲线 $\Gamma$ 可以用方程组 $\begin{cases}F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0\end{cases}$ 表示，将方程组中消去一个变量，以 $z$ 为例，得到方程 $F(x,y)=0$ ，表示一个母线平行于 $Oz$ 轴的柱面，所以该柱面必定包含曲线 $\Gamma$ ,过曲线 $\Gamma$ 上的一切点所作的平行于 $Oz$ 轴的所有直线都在该柱面上，该柱面称为投影柱面，投影柱面与 $Oxy$ 平面的交线叫空间曲线 $\Gamma$ 在 $Oxy$ 平面上的投影曲线，简称投影

二次曲面

由方程 $\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a>0,b>0,c>0)\end{aligned}$ 所确定的曲面称为椭球面
由方程 $\begin{aligned}z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}(a>0,b>0)\end{aligned}$ 所确定的曲面称为椭圆抛物面
由方程 $\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\end{aligned}$ 所确定的曲面称为二次锥面
由方程 $\begin{aligned}z=-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\end{aligned}$ 所确定的曲面称为双曲抛物面，又称马鞍面
由方程 $\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\end{aligned}$ 所确定的曲面称为单叶双曲面
由方程 $\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\end{aligned}$ 所确定的曲面称为双叶双曲面

Chapter-8 多元函数微分学

平面点集

设 $P(x_0,y_0)\in R^2$ ，把 $U^\circ(P_0,\delta)=\{P(x,y):0<(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2\}$
称为 $P_0$ 的 $\delta$ 空心邻域，任意一点 $P_0\in R^2$ 与任意一个点集 $E\in R^2$ 的关系有

• 内点，存在点 $P_0$ 的某一邻域 $U(P_0)\subset E$
• 外点，存在点 $P_0$ 的某一邻域 $U(P_0)\cup E=\emptyset$
• 边界点，在点 $P_0$ 的任一邻域既含有属于 $E$ 的点又含有不属于 $E$ 的点

根据点集中所属点的特征，可以将点集分为

• 开集，平面点集 $E$ 中的每一点都是 $E$ 的内点，即 $\mathrm{int} E=E$
• 闭集，平面点集 $E$ 的余集 $R^2-E$ 是开集

若 $E$ 中任意两点都可用一条完全含于 $E$ 的有限条折线连接，则称具有连通性
若 $E$ 既是开集又具有连通性，则称 $E$ 为开区域

开区域连同其边界构成的点集称为闭区域
开区域、闭区域连同其一部分边界点组成的点集统称为区域
若存在常数 $r$ 使 $E\subset U(O,r)$ 则称 $E$ 是有界集，否则称为无界集

二元函数的极限与连续

设二元函数 $z=f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U^\circ(P_0)$ 内有意义，若存在常数 $A$ ，任给 $\varepsilon>0$ ，若存在 $\delta>0$ 当 $0<\rho(P,P_0)<\delta$ 时都有 $|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon$ 则称 $A$ 是函数 $f(P)=f(x,y)$ 当点 $P(x,y)$ 趋于点 $P_0(x_0,y_0)$ 时的极限，记作

$$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=A\quad或\quad\lim_{P\rightarrow P_0}f(P)=A\end{aligned}$$

可用归结原理，当发现 $P$ 按两个特殊路径趋于 $P_0$ 时 $f(P)$ 极限不一致则判断极限不存在

若累次极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\end{aligned}$ 和二重极限 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}$ 都存在则三者相等
若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\end{aligned}$ 存在但不相等，则 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}$ 不存在

全增量与偏增量

若 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有意义，且 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}=f(x_0,y_0)$ 则称函数 $f(P)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处连续，记函数的全增量为

$$\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

记函数对 $x$ 的偏增量为 $\Delta_xz=f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$
记函数对 $y$ 的偏增量为 $\Delta_yz=f(x_0,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
设 $f(P)=f(x,y)$ 在平面有界闭区间 $G$ 上连续，则 $f(P)$ 必在 $G$ 上取到最大值、最小值以及中间的一切值，闭区域上连续的二元函数的图形称为连续曲面

偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限

$$\begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\end{aligned}$$

存在，则称该极限为函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数，记为

$$\begin{aligned}f'_x(x_0,y_0)=\frac{d}{dx}f(x,y)\quad或\quad\frac{\partial z}{\partial x}\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\quad或\quad z'_x\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\quad或\quad\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\end{aligned}$$

求解 $f’_x(x_0,y_0)$ 有三种方法：定义、求偏导再带入、带入已知量再求导

若函数 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数 $f’’_{xy}(x,y),f’’_{yx}(x,y)$ 都在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处连续，则二者相等
对在一点存在直到 $m$ 阶连续偏导数的 $n$ 元函数，在该点的 $k(\leq m)$ 阶混合偏导数与求偏导数的顺序无关

全微分

若二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可以表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\rightarrow 0)$ 其中 $A,B$ 与变量 $x,y$ 的增量 $\Delta x,\Delta y$ 无关，而仅与 $x,y$ 有关，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，其中 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，记作 $\mathrm{d}z$ ，即 $\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续，由 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，有 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho\rightarrow 0)$ 其中 $A,B$ 是与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数， $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\Delta z=\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho))=0\end{aligned}$ 所以 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的两个偏导数 $f_x’(x,y),f_y’(x,y)$ 都存在，且 $A=f_x’(x,y),B=f_y’(x,y)$，多元函数连续不一定可微

多元函数的可微性

偏导数即使都存在，原函数也不一定可微，验证多元函数不可微的方法：

• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处不连续，则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处不可微
• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处至少有一个偏导数不存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处不可微
• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的两个偏导数都存在，但极限 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\rho}\end{aligned}$ 不存在或极限存在但不为零，则 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处不可微

可微的充分条件：若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $f’_x(x,y),f’_y(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微
全增量公式：$\Delta z=f_x’(x_0,y_0)\Delta x+f_y’(x_0,y_0)\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y$ 其中 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\varepsilon_1=\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\varepsilon_2=0\end{aligned}$
近似估算：$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x’(x,y)\Delta x+f_y’(x,y)\Delta y$

复合函数的偏导数

若函数 $u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数都存在，$z=f(u,v)$ 在点 $(u,v)=(\varphi(x,y),\psi(x,y))$ 处可微，则复合函数 $z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在，并有求偏导公式：

$$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$$

特别地，若 $z=f(u,v),u=\varphi(x),v=\psi(x)$ ，即 $z$ 是一个自变量 $x$ 的复合函数，则有 $\begin{aligned}\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}\end{aligned}$ ，这里 $\begin{aligned}\frac{dz}{dx}\end{aligned}$ 称为全导数

复合函数的全微分

设 $z=f(x,y),x,y$ 是自变量，且 $z=f(x,y)$ 可微，则其全微分为 $\begin{aligned}dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\end{aligned}$

若设 $z=f(x,y),x=x(s,t),y=y(s,t)$ 都具有连续的偏导数，则复合函数 $z=f(x(s,t),y(s,t))$ 具有连续的偏导数 $\begin{aligned}dz=\frac{\partial z}{\partial s}ds+\frac{\partial z}{\partial t}dt\end{aligned}$

虽然 $x,y$ 不是自变量，但全微分的形式与 $x,y$ 是自变量时是一样的，称为全微分的一阶微分形式不变性，即若 $z=z(u,v)$ 可微，且 $dz=\varphi(u,v)du+\psi(u,v)dv$ ，则有

$$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial u}=\varphi(u,v),\quad \frac{\partial z}{\partial v}=\psi(u,v)\end{aligned}$$

考虑多元函数 $z=f(x,y)$ 的二阶微分，当 $x$ 和 $y$ 是自变量时，二阶微分为

$$\begin{aligned}d^2z=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(dy)^2\end{aligned}$$

当 $x$ 和 $y$ 是中间变量时，如 $x=x(u,v),y=y(u,v)$ ，计算二阶微分为

$$\begin{aligned}d^2z=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(dy)^2+\frac{\partial z}{\partial x}d^2x+\frac{\partial z}{\partial y}d^2y\end{aligned}$$

其中的额外项是因为中间变量二阶微分不为 $0$ 导致的
高阶微分在变量替换时会产生与中间变量二阶微分相关的额外项，导致形式改变

隐函数的偏导数

设 $F(x,y,z)$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0,F’_x(x_0,y_0,z_0)\neq0$ ，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$ ,满足 $z_0=f(x_0,y_0)$ 并有 $\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}\end{aligned}$

隐函数组的偏导数

设方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 确定隐函数组 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ ，即 $F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv0\quad G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv0$ ，有定理：

设 $F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$ ，且偏导数所组成的函数行列式

$$J=\begin{aligned}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\end{aligned}=\begin{vmatrix}\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v}\\\frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial v}\end{aligned}\end{vmatrix}$$

在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 不为零，则方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数组 $u=(x,y),v=v(x,y)$ ，它们满足条件 $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$ ，并有

$$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_x'&F_v'\\G_x'&G_v'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u'&F_x'\\G_u'&G_x'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_y'&F_v'\\G_y'&G_v'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\quad\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u'&F_y'\\G_u'&G_y'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\end{aligned}$$

场的方向导数与梯度

根据场中的物理量的数量和矢量之分将场分为数量场和矢量场两类
格局场中的物理量是否随时间而变化将场分为稳定场和不稳定场
数量场可以用点 $P(x,y,z)$ 的数量函数 $u=u(P)$ 或 $u=u(x,y,z),P(x,y,z)\in V$ 表示
矢量场可以用电 $P(x,y,z)$ 的矢量函数 $A=A(P)$ 或 $A=A_x(P)i+A_y(P)j+A_z(P)k$ 表示

Chapter-9 多元函数积分学

二重积分的定义

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 在平面有界闭区域 $\sigma$ 上有界，将 $\sigma$ 分成 $n$ 个小闭区域

$$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$$

在每个 $\Delta\sigma_i$ 上任意取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，如果当各个小闭区域的直径中的最大值趋于零时下式右侧极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在 $\sigma$ 上的二重积分

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $\sigma$ 上连续，则 $f(x,y)$ 在 $\sigma$ 上可积

二重积分的性质

性质 1

$$\iint_\sigma[f(x,y)\pm g(x,y)]d\sigma= \iint_\sigma f(x,y)d\sigma\pm \iint_\sigma g(x,y)d\sigma$$

性质 2

$$\iint_\sigma kf(x,y)d\sigma=k\iint_\sigma f(x,y)d\sigma$$

性质 3

$$\iint_\sigma1d\sigma=\iint_\sigma d\sigma=\sigma$$

性质 4
若 $\sigma$ 可分解为两个不共内点的区域 $\sigma_1,\sigma_2$ ，记作 $\sigma=\sigma_1+\sigma_2$ ，则有

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma=\iint_{\sigma_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{\sigma_2}f(x,y)d\sigma$$

性质 5
若 $\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\end{align}$ 存在，$f(x,y)\geq0$ ，则 $\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\geq 0\end{align}$

性质 6
若 $\begin{align}f(x,y)\geq 0,f(x,y)\not\equiv0,(x,y)\in\sigma\end{align}$ 且 $f(x,y)$ 连续，则$\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma>0\end{align}$

性质 7

$$\Big{|}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\Big{|}\leq\iint_\sigma|f(x,y)|d\sigma$$

性质 8
若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $\sigma$ 上连续，则在 $\sigma$ 上至少存在一点 $P(x^,y^)$ 使得

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma=f(x^*,y^*)\sigma$$

直角坐标系二重积分

设积分区域为 $x$ 型区域 $\sigma=\{(x,y):\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b\}$

$$\begin{align} \iint_\sigma f(x,y)d\sigma&=\int_a^bA(x)dx =\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx\\ &=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy \end{align}$$

极坐标系二重积分

通过坐标变换 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 可以简化一些二重积分的计算

$$\begin{align} \iint_\sigma f(x,y)d\sigma& =\iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\\ &=\int_{\alpha}^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr \end{align}$$

一般曲线坐标二重积分

设有坐标变换函数组 $\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}$ 具有连续的偏导数，且有

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} =r$$

则有二重积分的一般换元公式

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma =\iint_\sigma f(x(u,v),y(u,v)) \Big{|} \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \Big{|} dudv$$

三重积分的定义

设 $f(x,y,z)$ 是空间有限闭区间 $V$ 上的有界函数，将 $V$ 任意分成 $n$ 个小闭区域

$$\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots,\Delta V_n$$

在每个 $\Delta V_i$ 上任意取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ ，如果当各个小闭区域直径中的最大值 $\lambda$ 趋于零时下式右侧极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在 $V$ 上的三重积分

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\lim_{\lambda\rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

如果用平行于坐标面的平面划分 $V$ ，可把 $dV$ 记作 $dxdydz$ ，有

$$\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz$$

其中 $dxdydz$ 称为直角坐标系中的体积元素

直角坐标系三重积分

（1）投影法
积分区域 $V$ 表示为 $V=\{(x,y,z):z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy}\}$

$$\begin{align} M&=\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iint_{\sigma xy}\mu(x,y)d\sigma\\ &=\iint_{\sigma xy}[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]d\sigma\\ &=\iint_{\sigma xy}\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz \end{align}$$

若 $\sigma_{xy}$ 为 $x$ 型区域，$\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b$ ，则有

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_a^bdx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz$$

（2）截面法
设立体介于两平面 $z=c,z=d$ 之间，过 $(0,0,z),z\in[c,d]$ 作垂直于 $Oz$ 的平面与立体相截，截面区域为 $D_z$ ，只要能求 $[c,d]$ 上任意一 $z$ 处的线密度 $\mu(z)$ 即可求解

$$\begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV&=\int_c^d\mu(z)dz =\int_c^d[\iint_{D_x}f(x,y,z)d\sigma]dz\\ &=\int_c^ddz\iint_{D_x}f(x,y,z)d\sigma \end{align}$$

若 $D_x$ 为 $x$ 型区域，$y_1(x,z)\leq y\leq y_2(x,z),x_1(z)\leq x\leq x_2(z)$ ，则有

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_c^ddz\int_{x_1(z)}^{x_2(z)}dx\int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)}f(x,y,z)dy$$

当 $f(x,y,z)$ 仅是 $z$ 的表达式，而 $D_z$ 的面积又容易计算时，记 $f(x,y,z)=g(z)$

$$\begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV&=\iiint_Vg(z)dV=\int_c^ddz\iint_{D_z}g(z)dxdy\\ &=\int_c^dg(z)dz\int_{D_x}dxdy=\int_c^dg(z)S_{D_x}dz \end{align}$$

柱面坐标系三重积分

在计算三重积分 $\begin{align}\iiint_Vf(x,y,z)dV\end{align}$ 时，若 $f(x,y,z)$ 中含有 $x^2+y^2$ ， $V$ 在 $Oxy$ 平面上投影区域是圆域或圆域的一部分时可以进行柱面坐标变换

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$ $$\begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV &=\iiint_Vf(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz\\ &=\iint_{\sigma xy}rdrd\theta\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\\ &=\int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr \int_{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz \end{align}$$

球面坐标系三重积分

若三重积分被积函数中含有 $x^2+y^2+z^2$ ，可对这一类积分进行球面坐标变换

$$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z \end{cases} \quad \begin{cases} z=\rho\cos\varphi\\ r=\rho\sin\varphi\\ \theta=\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta\\ z=\rho\cos\varphi \end{cases}$$ $$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta$$

广义球坐标有 $dV=abc\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta$

三重积分的一般曲面坐标变换

求 $\begin{align}\iiint_Vf(x,y,z)dV\end{align}$ ，其中 $f(x,y,z)$ 连续，设变换：

$$\begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w) \end{cases}$$

均具有连续的偏导数，且有：

$$|J|= \begin{vmatrix} \begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \end{align} \end{vmatrix} \neq 0$$

则对应该一般的曲面坐标变换，有：

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV= \iiint_Vf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \begin{vmatrix}\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \end{align}\end{vmatrix} dudvdw$$

第一类曲线积分

设函数 $f(P)$ 是定义 $A,B$ 为端点的光滑曲线 $\Gamma$ 上的有界函数，在 $\Gamma$ 上任取点

$$A=M_0,M_1,M_2,\cdots,M_n=B$$

将曲线分成 $n$ 个部分，记弧 $\overparen{M_{i-1}M_i}$ 的长度为 $\Delta s_i$ ，并取点 $P_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$

$$\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i$$

记 $\lambda=\max\{\Delta s_i:1\leq i\leq n\}$ 当 $\lambda\rightarrow0$ 时，此极限的值与曲线分法和取点无关，则称此极限值为函数 $f(P)$ 沿曲线 $\Gamma$ 的第一类积分曲线

$$\int_\Gamma f(P)ds=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i$$ $$\int_{\Gamma}f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt$$ $$\begin{align} \int_\Gamma f(x,y)ds &=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt\\ &=\int_a^bf(x,\varphi(x))\sqrt{1+\varphi'^2(x)}dx\\ &=\int_c^df(\phi(y),y)\sqrt{1+\phi'^2(y)}dy\\ &=\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta \end{align}$$

第一类曲面积分

设 $f(P)=f(x,y,z)$ 是定义在有界光滑曲面 $S$ 上的有界函数，用曲线网将 $S$ 任意分成 $n$ 部分 $\Delta S_1,\Delta S_2,\cdots,\Delta S_n$ ，仍用其表示面积，在 $\Delta S_i$ 上取点 $P_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$

$$\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i$$

以 $\lambda$ 表示 $\Delta S_i$ 直径中的最大者，当 $\lambda\rightarrow 0$ 时，若和式极限存在，且此极限值与曲面的分法以及 $P_i$ 的取法无关，则称其为函数 $f(P)$ 沿曲面 $S$ 的第一类曲面积分

$$\iint_Sf(P)dS=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i$$ $$\begin{align} \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{yz}}f(x(y,z),y,z) \sqrt{1+(\frac{\partial x}{\partial y})^2+ (\frac{\partial x}{\partial z})^2}d\sigma\\ \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{zx}}f(x,y(x,z),z) \sqrt{1+(\frac{\partial y}{\partial x})^2+ (\frac{\partial y}{\partial z})^2}d\sigma\\ \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{xy}}f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+ (\frac{\partial z}{\partial y})^2}d\sigma \end{align}$$

若曲面 $S$ 由方程 $F(x,y,z)=0$ 给出，且确定隐函数 $z=z(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy}$ ，并且有 $\begin{align}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x’}{F_z’},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y’}{F_z’}\end{align}$ 连续，则有

$$\iint_sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{\sqrt{F_x'^2+F_y'^2+F_z'^2}}{|F_z'|}d\sigma$$

Chapter-10 第二类曲线/面积分

第二类曲线积分

设 $\Gamma$ 是以 $A,B$ 为端点的光滑曲线，并指定从 $A$ 到 $b$ 的方向为曲线方向，在 $\Gamma$ 上每一点 $M$ 处作曲线的单位切矢量

$$e_{T}(M)=\cos\alpha\cdot i+\cos\beta\cdot j+\cos\gamma\cdot k$$

设 $A(M)=A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$ 其中 $P,Q,R$ 是定义在曲线 $\Gamma$ 上的有界函数，则函数

$$A\cdot e_T=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma$$

在曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分

$$\int_\Gamma A\cdot e_Tds=\int_\Gamma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds$$

称为函数 $A(P)=A(x,y,z)$ 沿曲线 $\Gamma$ 从 $A$ 到 $B$ 的第二类曲线积分

性质1

$$\int_{\Gamma_{AB}}(A\cdot e_T)ds=-\int_{\Gamma_{BA}}(A\cdot e_T)ds$$

性质2
若有向曲线 $\Gamma$ 是由有向曲线 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 首尾衔接而成，则

$$\int_{\Gamma}(A\cdot e_T)ds=\int_{\Gamma_1}(A\cdot e_T)ds+\int_{\Gamma_2}(A\cdot e_T)ds$$

第二类曲线积分计算

设光滑曲线 $\Gamma_{AB}$ 方程为 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$ ，点 $A$ 对应的参数为 $t_A$ ，点 $B$ 对应的参数为 $t_B$ 且函数 $A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 的分量 $P,Q,R$ 在 $\Gamma$ 上连续

$$\begin{align} \int_{\Gamma_{AB}}A\cdot e_T ds &=\int_{\Gamma_{AB}}A\cdot ds\\ &=\int_{\Gamma_{AB}}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds\\ &=\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz\\ &=\int_{t_A}^{t_B}P(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt+ \int_{t_A}^{t_B}Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt+\\ &\quad\int_{t_A}^{t_B}R(x(t),y(t),z(t))z'(t)dt\\ &=\int_{t_A}^{t_B}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+ Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+\\ &\quad R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt \end{align}$$

格林公式

被积函数相同，奇点和终点也相同，虽然路径不同，积分仍然相同

边界曲线 $\Gamma$ 的正向规定为当人沿边界行走时，区域总在左侧
若函数 $P,Q$ 在有界闭区域 $D\subset R^2$ 上连续且具有一阶连续偏导数，则

$$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy =\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy =\iint_{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q \end{vmatrix}dxdy$$

这里的 $\Gamma$ 为区域 $D$ 的边界区域，并取正向

Chapter-11 级数

数项级数的定义

设 $u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots$ 是给定的数列，称 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots\end{aligned}$ 为数项级数，称 $\begin{aligned}S_n=\sum_{i=1}^nu_i\end{aligned}$ 为部分和，则有 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{aligned}$

几何级数的敛散性

几何级数 $\begin{aligned}a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\quad(a\neq0)\end{aligned}$ 的敛散性满足：

• 当 $|q|<1$ 时，几何级数收敛，且 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}=\frac{a}{1-q}\end{aligned}$
• 当 $|q|\geq1$ 时，几何级数发散，即 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\mathrm{DNE}\end{aligned}$

  $p$ 级数的敛散性

$p$ 级数 $\begin{aligned}1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}$ 的敛散性满足：

• 当 $p>1$ 时，级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}$ 收敛
• 当 $p\leq1$ 时，级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}$ 发散

  数项级数的基本性质

  性质 1
  若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\sum_{n=1}^{\infty}v_n\end{aligned}$ 均收敛，且 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}u_n=A,\sum_{n=1}^{\infty}v_n=B\end{aligned}$ ，则对任何常数 $\alpha,\beta$ ，$\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(\alpha u_n+\beta v_n)\end{aligned}$ 收敛，且有 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(\alpha u_n+\beta v_n)=\alpha\sum_{n=1}^\infty u_n+\beta\sum_{n=1}^\infty v_n=\alpha A+\beta B\end{aligned}$

性质 2
改变级数的有限项，或去掉前面有限项，或在级数前面加上有限项，都不影响级数的敛散性

性质 3
若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛，则在级数中任意添加括号得到的新级数也收敛，且其和不变

性质 4
若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{aligned}$，逆命题不一定成立

性质 5
若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\mathrm{DNE}\end{aligned}$ 或 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=A\neq0\end{aligned}$ 则级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散

性质 6
柯西收敛准则：级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0 \exists$ 正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，对一切正整数 $p$ ，都有 $|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\varepsilon$

正项级数的收敛性

正项级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛的充要条件是：正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界

正项级数的比较判别法

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 均为正项级数，且 $u_n\leq v_n(n=1,2,3,\cdots)$

• 若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛
• 若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 发散
  定理条件可弱化为 $u_n\leq Cv_n(C>0)(n=k,k+1,\cdots)$

比较判别法的极限形式

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 均为正项级数，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\end{aligned}$

• 当 $0<l<+\infty$ 时，两个级数同敛散性
• 当 $l=0$ 时，若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛
• 当 $l=+\infty$ 时，若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 发散，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散

  比值判别法

  设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 是正项级数，并且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\gamma\quad(或 +\infty)\end{aligned}$
• 当 $\gamma<1$ 时，级数收敛
• 当 $\gamma>1(或 \gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别法失效
  本判别法适合 $u_{n+1}$ 与 $u_n$ 有公因式且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\end{aligned}$ 存在或等于 $\infty$ 的情形

  根值判别法

  设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 是正项级数，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\gamma\quad(或+\infty)\end{aligned}$
• 当 $\gamma<1$ 时，级数收敛
• 当 $\gamma>1(或 \gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别法失效
  本判别法适合 $u_n$ 中含有表达式的 $n$ 次方，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}\end{aligned}$ 存在或等于 $\infty$ 的情形

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上是非负且递减的连续函数，记 $u_n=f(n),n=1,2,3,\cdots$ ,则级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 与反常积分 $\begin{aligned}\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$ 的敛散性相同

莱布尼茨定理

若交错级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{aligned}$ 满足条件 $u_1\geq u_2\geq u_3\geq\cdots$ 且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{aligned}$
则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{aligned}$ 收敛，并且它的和 $S\leq u_1$
若交错级数满足莱布尼茨定理的条件，则以 $S_n$ 作为级数和近似值时，误差 $R_n$ 不超过 $u_{n+1}$

绝对收敛级数与条件收敛级数

如果 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n \end{aligned}$ 也收敛
设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 为一般级数，则

• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 收敛，则称 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 绝对收敛
• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 发散，但 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛，则称 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 条件收敛
  如果是用比值判别法或根值判别法判定 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 发散，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散

  绝对值的比值判别法

  设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 为一般级数，若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\gamma\quad(或+\infty)\end{aligned}$
• 当 $\gamma<1$ 时，级数绝对收敛
• 当 $\gamma>1(或\gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别方法失效

绝对值的根值判别法

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n \end{aligned}$ 为一般级数，若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=\gamma\quad(或\infty)\end{aligned}$

• 当 $\gamma<1$ 时，级数绝对收敛
• 当 $\gamma>1(或\gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别方法失效

函数项级数

设 $\{u_n(x)\}$ 是定义在数集 $E$ 的一个函数列，表达式 $u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots,x\in E$
称为定义在 $E$ 上的函数项级数，记为 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\end{aligned}$
$\begin{aligned}S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x),x\in E,n=1,2,\cdots\end{aligned}$ 称为部分和函数列

• 若即 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x_0)\end{aligned}$ 存在，则称函数项级数在点 $x_0$ 收敛，$x_0$ 称为函数项级数的收敛点
• 若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x_0)\end{aligned}$ 不存在，则称函数项级数在点 $x_0$ 发散
  函数项级数全体收敛点的集合称为函数项级数的收敛域，记为 $D$
  函数项级数在 $D$ 上的每一点 $x$，$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x)\end{aligned}$ 存在，记为 $S(x)$ ，称为函数项级数的和函数
  称 $R_n(x)=S(x)-S_n(x)=u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots$ 为函数项级数的余项 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0\end{aligned}$

幂级数

$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\end{aligned}$ 为关于 $x-x_0$ 的幂级数，$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 为关于 $x$ 的幂级数

阿贝尔定理

• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 当 $x=x_0(x_0\neq0)$ 时收敛，则 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ 使该幂级数绝对收敛
• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 当 $x=x_0$ 时发散，则 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ 使该幂级数发散
  幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，若以 $2R$ 表示区间长度，$R$ 为收敛半径

柯西-阿达马公式

若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ ,若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\end{aligned}$ （$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=R\end{aligned}$）

• 当 $0R$ 发散
• 当 $R=0$ 时，级数$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 仅在 $x=0$ 处收敛，$x\neq0$ 时发散
• 当 $R=+\infty$ 时，级数$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内绝对收敛
  在 $x=\pm R$ 时，幂级数可能发散也可能收敛，需要具体验证
  称 $R$ 为幂级数的收敛半径， $(-R,R)$ 为幂级的收敛区间
  对于求不是标准形式幂级数的收敛半径，可以直接利用绝对值的比值判别法或作变量替换

幂级数的性质

若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 的收敛半径为 $R(>0)$ ，则有：

• 级数在收敛域上的和函数 $S(x)$ 是连续函数，$S(x)$ 在 $(-R,R)$ 内也连续
• 幂级数在 $(-R,R)$ 内逐项可微，微分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径
• 幂级数在 $(-R,R)$ 内逐项可积，积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径

即设 $S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots,|x|<R$ ，则

• $S(x)$ 在 $|x|<R$ 上连续
• $\begin{aligned}S’(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots)\\&=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots,\quad|x|<R\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\int_0^xS(x)\mathrm{d}x&=\int_0^x(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots)\mathrm{d}x\\&=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\cdots,\quad|x|<R\end{aligned}$

设 $S(x)$ 为幂级数在收敛区间 $(-R,R)$ 内的和函数，则在 $(-R,R)$ 内 $S(x)$ 具有$任何阶导数且可逐项求导，收敛半径仍为 $R$

唯一性定理：设 $S(x)$ 为幂级数在某邻域内的和函数，则幂级数的系数在 $x=0$ 处的各阶导数具有关系：$\begin{aligned}a_0=S(0),\quad a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!},\quad n=1,2,\cdots\end{aligned}$

• 若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在收敛区间的端点 $x=R$ 处收敛，则 $S(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在 $x=R$ 处左连续，即 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow R^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nR^n\end{aligned}$ 或 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow R^-}S(x)=S(R)\end{aligned}$
• 若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在收敛区间的端点 $x=-R$ 处收敛，则 $S(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在 $x=-R$ 处右连续，即 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -R^+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n\end{aligned}$ 或 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -R^+}S(x)=S(-R)\end{aligned}$

  幂级数的运算

  若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 与 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\end{aligned}$ 在 $x=0$ 的某邻域相等，则它们的同次幂项的系数相等
  设 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 和 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\end{aligned}$ 的收敛半径分别为 $R_a$ 和 $R_b$ ，则有
• $\begin{aligned}\lambda\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \lambda a_nx^n,\quad|x|<R_a\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n,\quad|x|<R\end{aligned}$
• $\begin{aligned}(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n,\quad|x|<R\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\frac{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\Rightarrow(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty c_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$
  其中 $\lambda$ 为常数，$\begin{aligned}R=\min\{R_a,R_b\},\quad c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\end{aligned}$

求幂级数的和函数常用方法

• 利用幂级数的线性运算法则
• 利用变量代换
• 通过逐项求导，再利用 $\begin{aligned}S(x)=S(0)+\int_0^xS’(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$
• 通过逐项积分，再利用 $S(x)=\begin{pmatrix}\begin{aligned}\int_0^xS(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\end{pmatrix}’$

函数展成幂级数

当 $f(x)$ 在区间 $|x-x_0|<R$ 内存在任意阶的导数，幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{aligned}$ 的收敛条件为 $|x-x_0|<R$ ，则在 $|x-x_0|<R$ 内 $f(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{aligned}$ 成立的充要条件是：在该区间内 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(0)+\frac{f’(0)}{1!}+\frac{f’’(0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\end{aligned}$ 称为 $f(x)$ 的麦克劳林级数

• $\begin{aligned}\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,\quad|x|<1\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,\quad|x|<1\end{aligned}$
• $f^{(n)}(x_0)=n!a_n,\quad n=0,1,2,\cdots$

欧拉公式

当 $x$ 为实数时，有 $\begin{aligned}e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\end{aligned}$ ,推广到虚数，有
$\begin{aligned}e^{\mathrm{i}x}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}x)^n}{n!}=1+\mathrm{i}x+\frac{(\mathrm{i}x)^2}{2!}+\frac{(\mathrm{i}x)^3}{3!}+\frac{(\mathrm{i}x)^4}{4!}+\cdots\\&=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots)+\mathrm{i}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots)\end{aligned}$

• $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$
• $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=\cos x-\mathrm{i}\sin x$
• $\begin{aligned}\sin x=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\cos x=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\end{aligned}$

函数的傅里叶展开

周期 $T=2l$ 的函数 $f(x)$ 可以表示成 $\begin{aligned}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})\end{aligned}$
在标准区间 $[-l,l]$ 上的三角解函数系：

$$\begin{aligned}1,\quad\cos\frac{\pi x}{l},\quad\sin\frac{\pi x}{l},\quad\cos\frac{2\pi x}{l},\quad\sin\frac{2\pi x}{l},\quad\cdots,\quad\cos\frac{n\pi x}{l},\quad\sin\frac{n\pi x}{l},\quad\dots\end{aligned}$$ $$\begin{cases}\begin{aligned}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\end{aligned},\quad n=0,1,2,\cdots\\\begin{aligned}b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\end{aligned},\quad n=1,2,3,\cdots\end{cases}$$

当 $f(x)$ 为奇函数，则 $a_n=0$ , 称为傅里叶正弦级数
当 $f(x)$ 为偶函数，则 $b_n=0$ ，称为傅里叶余弦级数

狄利克雷定理

如果 $f(x)$ 是以 $T=2l$ 为周期的周期函数，且 $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上逐段光滑，那么 $f(x)$ 的傅里叶级数在任意点 $x$ 处都收敛，并且收敛于 $f(x)$ 在该点左右极限的平均值，即

$$\begin{aligned}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})&=S(x)\\&=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},x\in(-\infty,+\infty)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}S(x)=\begin{cases}f(x)&当 x 是 f(x) 的连续点时;\\\begin{aligned}\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\end{aligned}&当 x 是 f(x) 的第一类间断点时;\\\begin{aligned}\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}\end{aligned}&当 x=\pm l\end{cases}\end{aligned}$$

对函数作周期延拓补充为一个周期函数

对函数延拓

• 奇延拓 $F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in(0,l]\\0,&x=0\-f(-x),&x\in[-l,0)\end{cases}$
• 偶延拓 $F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in[0,l]\\f(-x),&x\in[-l,0)\end{cases}$