微积分甲II

Chapter-7 空间曲面方程

矢量的矢量积

$a\times b=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}i-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}k=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_2\end{vmatrix}$
矢量积所得的矢量垂直于 $a,b$ 构成的平面

矢量的混合积

$a\cdot(b\times c)=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}$

三矢量的二重矢积

$a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c$

平面的方程表示

任何平面都可用关于 $x,y,z$ 的一次方程 $Ax+By+Cz+D=0$ （其中 $A,B,C$ 不全为零）来表示，而 $Ax+By+Cz+D=0$ 表示一张以 $f=Ai+Bj+Ck$ 为法矢量的平面

直线的方程表示

• 直线的点向式方程 $\begin{aligned}\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\end{aligned}$
• 直线的参数式方程 $\begin{cases}x=x_0+lt\\y=y_0+mt\\z=z_0+nt\end{cases}$
• 直线的两点式方程 $\begin{aligned}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\end{aligned}$
• 直线的一般式方程 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$
• 直线一般式方程的方向矢量为 $\begin{vmatrix}i&j&k\\A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\end{vmatrix}$

直线的方向矢量为 $v=li+mj+nk$
过点 $P$ 作与直线垂直的平面方程为 $l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$

平面束方程

记直线 $L$ 的一般式方程为 $L:\begin{cases}\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$
设 $\lambda,\mu$ 为不同时为零的任意实数，则 $\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$
就表示以 $L$ 为轴的平面束方程

曲面方程

在空间直角坐标系中，如果某个曲面上任意点的坐标都满足方程 $F(x,y,z)=0$ ，而不在该曲面上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程 $F(x,y,z)=0$ 称为该曲面方程

球面方程：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

柱面方程

一条动直线 $L$ 沿一定曲线 $\Gamma$ 平行移动所成的曲面称为柱面，并称动直线 $L$ 为该柱面的母线，称定曲线 $\Gamma$ 为该柱面的准线

以 $Oxy$ 平面的曲线 $\Gamma:F(x,y)$ 为准线，母线 $L$ 的方向矢量为 $v=ai+bj+ck,(c\neq 0)$ 的柱面方程为 $\begin{aligned}F(x-\frac{a}{c}z,y-\frac{b}{c}z)=0\end{aligned}$

由平行于 $Oz$ 轴的直线沿曲线 $\Gamma$ 平行移动所生成的曲面称为母线平行于 $Oz$ 轴的柱面

锥面方程

过空间一定点 $O$ 的动直线 $L$ ，沿空间曲线 $\Gamma$（不过定点 $O$ ）移动所生成的曲线称为锥面，其中动直线 $L$ 称为该锥面的母线，曲线 $\Gamma$ 称为该锥面的准线，$O$ 称为该锥面的顶点
锥面的准线取平面曲线，以 $z=h,(h\neq0)$ 平面上的曲线 $\Gamma:F(x,y)=0$ 为准线，以原点为顶点的锥面方程为 $\begin{aligned}F(\frac{h}{z}x,\frac{h}{z}y)=0\end{aligned}$

旋转曲面方程

一曲线 $\Gamma$ 绕一定直线 $L$ 旋转而生成的曲面叫做旋转曲面，其中定直线 $L$ 称为旋转曲面的轴
设 $\Gamma$ 为 $Oyz$ 平面上的曲线，其方程为 $F(y,z)=0$ ，将该曲线绕 $Oz$ 旋转，就得到一个以 $Oz$ 轴为轴的旋转曲面，其方程为 $F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$

空间曲线方程

任意空间曲线总可以看成两曲面的交线，设 $F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$ 表示两曲面的方程，它们相交，且交线是曲线 $\Gamma$ ，则 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$
空间曲线也可用参数方程来表示，其一般形式是$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}$
将 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ 方程中消去一个变量，得到的就是对应轴的投影柱面

空间曲线在坐标平面上的投影

空间曲线 $\Gamma$ 可以用方程组 $\begin{cases}F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0\end{cases}$ 表示，将方程组中消去一个变量，以 $z$ 为例，得到方程 $F(x,y)=0$ ，表示一个母线平行于 $Oz$ 轴的柱面，所以该柱面必定包含曲线 $\Gamma$ ,过曲线 $\Gamma$ 上的一切点所作的平行于 $Oz$ 轴的所有直线都在该柱面上，该柱面称为投影柱面，投影柱面与 $Oxy$ 平面的交线叫空间曲线 $\Gamma$ 在 $Oxy$ 平面上的投影曲线，简称投影

二次曲面

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Chapter-8 多元函数微分学

平面点集

设 $P(x_0,y_0)\in R^2$ ，把 $U^\circ(P_0,\delta)=\{P(x,y):0<(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2\}$
称为 $P_0$ 的 $\delta$ 空心邻域，任意一点 $P_0\in R^2$ 与任意一个点集 $E\in R^2$ 的关系有

• 内点，存在点 $P_0$ 的某一邻域 $U(P_0)\subset E$
• 外点，存在点 $P_0$ 的某一邻域 $U(P_0)\cup E=\emptyset$
• 边界点，在点 $P_0$ 的任一邻域既含有属于 $E$ 的点又含有不属于 $E$ 的点

根据点集中所属点的特征，可以将点集分为

• 开集，平面点集 $E$ 中的每一点都是 $E$ 的内点，即 $\mathrm{int} E=E$
• 闭集，平面点集 $E$ 的余集 $R^2-E$ 是开集

若 $E$ 中任意两点都可用一条完全含于 $E$ 的有限条折线连接，则称具有连通性
若 $E$ 既是开集又具有连通性，则称 $E$ 为开区域

开区域连同其边界构成的点集称为闭区域
开区域、闭区域连同其一部分边界点组成的点集统称为区域
若存在常数 $r$ 使 $E\subset U(O,r)$ 则称 $E$ 是有界集，否则称为无界集

二元函数的极限与连续

设二元函数 $z=f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U^\circ(P_0)$ 内有意义，若存在常数 $A$ ，任给 $\varepsilon>0$ ，若存在 $\delta>0$ 当 $0<\rho(P,P_0)<\delta$ 时都有 $|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon$ 则称 $A$ 是函数 $f(P)=f(x,y)$ 当点 $P(x,y)$ 趋于点 $P_0(x_0,y_0)$ 时的极限，记作

$$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=A\quad或\quad\lim_{P\rightarrow P_0}f(P)=A\end{aligned}$$

可用归结原理，当发现 $P$ 按两个特殊路径趋于 $P_0$ 时 $f(P)$ 极限不一致则判断极限不存在

若累次极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\end{aligned}$ 和二重极限 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}$ 都存在则三者相等
若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\end{aligned}$ 存在但不相等，则 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}$ 不存在

全增量与偏增量

若 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有意义，且 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}=f(x_0,y_0)$ 则称函数 $f(P)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处连续，记函数的全增量为

$$\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

记函数对 $x$ 的偏增量为 $\Delta_xz=f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$
记函数对 $y$ 的偏增量为 $\Delta_yz=f(x_0,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
设 $f(P)=f(x,y)$ 在平面有界闭区间 $G$ 上连续，则 $f(P)$ 必在 $G$ 上取到最大值、最小值以及中间的一切值，闭区域上连续的二元函数的图形称为连续曲面

偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限

$$\begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\end{aligned}$$

存在，则称该极限为函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数，记为

$$\begin{aligned}f'_x(x_0,y_0)=\frac{d}{dx}f(x_0,y_0)\quad或\quad\frac{\partial z}{\partial x}\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\quad或\quad z'_x\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\quad或\quad\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\end{aligned}$$

求解 $f’_x(x_0,y_0)$ 有三种方法：定义、求偏导再带入、带入已知量再求导

若函数 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数 $f’’_{xy}(x,y),f’’_{yx}(x,y)$ 都在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处连续，则二者相等
对在一点存在直到 $m$ 阶连续偏导数的 $n$ 元函数，在该点的 $k(\leq m)$ 阶混合偏导数与求偏导数的顺序无关

全微分

若二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可以表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\rightarrow 0)$ 其中 $A,B$ 与变量 $x,y$ 的增量 $\Delta x,\Delta y$ 无关，而仅与 $x,y$ 有关，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，其中 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，记作 $\mathrm{d}z$ ，即 $\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续，由 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，有 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho\rightarrow 0)$ 其中 $A,B$ 是与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数， $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\Delta z=\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho))=0\end{aligned}$ 所以 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的两个偏导数 $f_x’(x,y),f_y’(x,y)$ 都存在，且 $A=f_x’(x,y),B=f_y’(x,y)$，多元函数连续不一定可微

多元函数的可微性

偏导数即使都存在，原函数也不一定可微，验证多元函数不可微的方法：

• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处不连续，则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处不可微
• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处至少有一个偏导数不存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处不可微
• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的两个偏导数都存在，但极限 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\rho}\end{aligned}$ 不存在或极限存在但不为零，则 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处不可微

可微的充分条件：若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $f’_x(x,y),f’_y(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微

函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微而两偏导数在该点不连续的情况
例：$\begin{align}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\end{align}$

全增量公式：$\Delta z=f_x’(x_0,y_0)\Delta x+f_y’(x_0,y_0)\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y$ 其中 $\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\varepsilon_1=\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\varepsilon_2=0\end{aligned}$
近似估算：$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x’(x,y)\Delta x+f_y’(x,y)\Delta y$

复合函数的偏导数

若函数 $u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数都存在，$z=f(u,v)$ 在点 $(u,v)=(\varphi(x,y),\psi(x,y))$ 处可微，则复合函数 $z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在，并有求偏导公式：

$$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$$

特别地，若 $z=f(u,v),u=\varphi(x),v=\psi(x)$ ，即 $z$ 是一个自变量 $x$ 的复合函数，则有 $\begin{aligned}\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}\end{aligned}$ ，这里 $\begin{aligned}\frac{dz}{dx}\end{aligned}$ 称为全导数

复合函数的全微分

设 $z=f(x,y),x,y$ 是自变量，且 $z=f(x,y)$ 可微，则其全微分为 $\begin{aligned}dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\end{aligned}$

若设 $z=f(x,y),x=x(s,t),y=y(s,t)$ 都具有连续的偏导数，则复合函数 $z=f(x(s,t),y(s,t))$ 具有连续的偏导数 $\begin{aligned}dz=\frac{\partial z}{\partial s}ds+\frac{\partial z}{\partial t}dt\end{aligned}$

虽然 $x,y$ 不是自变量，但全微分的形式与 $x,y$ 是自变量时是一样的，称为全微分的一阶微分形式不变性，即若 $z=z(u,v)$ 可微，且 $dz=\varphi(u,v)du+\psi(u,v)dv$ ，则有

$$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial u}=\varphi(u,v),\quad \frac{\partial z}{\partial v}=\psi(u,v)\end{aligned}$$

考虑多元函数 $z=f(x,y)$ 的二阶微分，当 $x$ 和 $y$ 是自变量时，二阶微分为

$$\begin{aligned}d^2z=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(dy)^2\end{aligned}$$

当 $x$ 和 $y$ 是中间变量时，如 $x=x(u,v),y=y(u,v)$ ，计算二阶微分为

$$\begin{aligned}d^2z=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(dy)^2+\frac{\partial z}{\partial x}d^2x+\frac{\partial z}{\partial y}d^2y\end{aligned}$$

其中的额外项是因为中间变量二阶微分不为 $0$ 导致的
高阶微分在变量替换时会产生与中间变量二阶微分相关的额外项，导致形式改变

隐函数的偏导数

设 $F(x,y,z)$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0,F’_x(x_0,y_0,z_0)\neq0$ ，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$ ,满足 $z_0=f(x_0,y_0)$ 并有 $\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}\end{aligned}$

隐函数组的偏导数

设方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 确定隐函数组 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ ，即 $F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv0\quad G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv0$ ，有定理：

设 $F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$ ，且偏导数所组成的函数行列式

$$J=\begin{aligned}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\end{aligned}=\begin{vmatrix}\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v}\\\frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial v}\end{aligned}\end{vmatrix}$$

在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 不为零，则方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数组 $u=(x,y),v=v(x,y)$ ，它们满足条件 $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$ ，并有

$$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_x'&F_v'\\G_x'&G_v'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u'&F_x'\\G_u'&G_x'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_y'&F_v'\\G_y'&G_v'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\quad\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u'&F_y'\\G_u'&G_y'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\end{aligned}$$

场的方向导数与梯度

根据场中的物理量的数量和矢量之分将场分为数量场和矢量场两类
格局场中的物理量是否随时间而变化将场分为稳定场和不稳定场
数量场可以用点 $P(x,y,z)$ 的数量函数 $u=u(P)$ 或 $u=u(x,y,z),P(x,y,z)\in V$ 表示
矢量场可以用电 $P(x,y,z)$ 的矢量函数 $A=A(P)$ 或 $A=A_x(P)i+A_y(P)j+A_z(P)k$ 表示

若函数 $u$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微，则 $u$ 在点 $P_0$ 处沿任一方向 $l$ 的方向导数都存在，且

$$\frac{\partial u}{\partial l}\Big{|}_{P_0}= \frac{\partial u}{\partial x}\Big{|}_{P_0}\cos\alpha+ \frac{\partial u}{\partial y}\Big{|}_{P_0}\cos\beta+ \frac{\partial u}{\partial z}\Big{|}_{P_0}\cos\gamma$$

函数 $u(P)$ 在 $P$ 处的梯度为矢量

$$\mathrm{grad}\,u= \frac{\partial u}{\partial x}i+ \frac{\partial u}{\partial y}j+ \frac{\partial u}{\partial z}k$$

当 $u$ 在点 $P_0$ 处可微时，$u$ 在点 $P_0$ 的梯度方向是 $u$ 值增长最快的方向

梯度运算的性质

设 $u,v$ 可微，$\alpha,\beta$ 为常数，则梯度运算具有如下性质
（1） $\mathrm{grad}\,(\alpha u+\beta v)=\alpha\mathrm{grad}\, u+\beta\mathrm{grad}\, v$
（2） $\mathrm{grad}\,(u\cdot v)=u\mathrm{grad}\, v+v\mathrm{grad}\, u$
（3） $\mathrm{grad}\, f(u)=f’(u)\mathrm{grad}\,u$

多元函数泰勒公式

若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有直到 $n+1$ 阶连续偏导数，则对于 $U(P_0)$ 内任一点 $(x_0+h,y_0+k)$，存在 $\theta\in(0,1)$ ，使得

$$\begin{align} f(x_0+h,y_0+k)&=f(x_0,y_0)+ (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)\\ &+\frac{1}{2!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)\\ &+\cdots\\ &+\frac{1}{n!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)\\ &+\frac{1}{(n+1)!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1} f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \end{align}$$

极值的必要条件

若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 存在偏导数且在 $P_0$ 处取极值，则有

$$f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0$$

点 $P_0$ 满足上式则称为 $f$ 的稳定点或驻点

极值的充分条件

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内连续，且有连续偏导数，如果 $f_x’(x_0,y_0)=0,f_y’(x_0,y_0)=0$ ，设 $A=f_{xx}’’(x_0,y_0),B=f_{xy}’’(x_0,y_0),C=f_{yy}’’(x_0,y_0)$ ，则
（1）当 $B^2-AC<0$ 时，$f(x_0,y_0)$ 一定为极值，且 $A>0$ 时为极小值，$A<0$ 时为极大值 （2）当 $B^2-AC>0$ 时，$f(x_0,y_0)$ 不是极值
（3）当 $B^2-AC=0$ 时，不能确定 $f(x_0,y_0)$ 是否为极值

空间曲线的法平面

过点 $P_0$ 且与该直线垂直的平面称为在 $P_0$ 处的法平面，法平面方程为

$$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$$

空间曲面的切平面

过点 $M_0$ 且与该平面相切的平面称为在 $M_0$ 处的切平面，切平面方程为

$$F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

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Chapter-9 多元函数积分学

二重积分的定义

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 在平面有界闭区域 $\sigma$ 上有界，将 $\sigma$ 分成 $n$ 个小闭区域

$$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$$

在每个 $\Delta\sigma_i$ 上任意取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，如果当各个小闭区域的直径中的最大值趋于零时下式右侧极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在 $\sigma$ 上的二重积分

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $\sigma$ 上连续，则 $f(x,y)$ 在 $\sigma$ 上可积

二重积分的性质

性质 1

$$\iint_\sigma[f(x,y)\pm g(x,y)]d\sigma= \iint_\sigma f(x,y)d\sigma\pm \iint_\sigma g(x,y)d\sigma$$

性质 2

$$\iint_\sigma kf(x,y)d\sigma=k\iint_\sigma f(x,y)d\sigma$$

性质 3

$$\iint_\sigma1d\sigma=\iint_\sigma d\sigma=\sigma$$

性质 4
若 $\sigma$ 可分解为两个不共内点的区域 $\sigma_1,\sigma_2$ ，记作 $\sigma=\sigma_1+\sigma_2$ ，则有

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma=\iint_{\sigma_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{\sigma_2}f(x,y)d\sigma$$

性质 5
若 $\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\end{align}$ 存在，$f(x,y)\geq0$ ，则 $\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\geq 0\end{align}$

性质 6
若 $\begin{align}f(x,y)\geq 0,f(x,y)\not\equiv0,(x,y)\in\sigma\end{align}$ 且 $f(x,y)$ 连续，则$\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma>0\end{align}$

性质 7

$$\Big{|}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\Big{|}\leq\iint_\sigma|f(x,y)|d\sigma$$

性质 8
若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $\sigma$ 上连续，则在 $\sigma$ 上至少存在一点 $P(x^,y^)$ 使得

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma=f(x^*,y^*)\sigma$$

直角坐标系二重积分

设积分区域为 $x$ 型区域 $\sigma=\{(x,y):\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b\}$

$$\begin{align} \iint_\sigma f(x,y)d\sigma&=\int_a^bA(x)dx =\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx\\ &=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy \end{align}$$

极坐标系二重积分

通过坐标变换 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 可以简化一些二重积分的计算

$$\begin{align} \iint_\sigma f(x,y)d\sigma& =\iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\\ &=\int_{\alpha}^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr \end{align}$$

一般曲线坐标二重积分

设有坐标变换函数组 $\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}$ 具有连续的偏导数，且有

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} =r$$

则有二重积分的一般换元公式

$$\iint_\sigma f(x,y)d\sigma =\iint_\sigma f(x(u,v),y(u,v)) \Big{|} \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \Big{|} dudv$$

三重积分的定义

设 $f(x,y,z)$ 是空间有限闭区间 $V$ 上的有界函数，将 $V$ 任意分成 $n$ 个小闭区域

$$\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots,\Delta V_n$$

在每个 $\Delta V_i$ 上任意取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ ，如果当各个小闭区域直径中的最大值 $\lambda$ 趋于零时下式右侧极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在 $V$ 上的三重积分

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\lim_{\lambda\rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

如果用平行于坐标面的平面划分 $V$ ，可把 $dV$ 记作 $dxdydz$ ，有

$$\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz$$

其中 $dxdydz$ 称为直角坐标系中的体积元素

直角坐标系三重积分

（1）投影法
积分区域 $V$ 表示为 $V=\{(x,y,z):z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy}\}$

$$\begin{align} M&=\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iint_{\sigma xy}\mu(x,y)d\sigma\\ &=\iint_{\sigma xy}[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]d\sigma\\ &=\iint_{\sigma xy}\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz \end{align}$$

若 $\sigma_{xy}$ 为 $x$ 型区域，$\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b$ ，则有

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_a^bdx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz$$

（2）截面法
设立体介于两平面 $z=c,z=d$ 之间，过 $(0,0,z),z\in[c,d]$ 作垂直于 $Oz$ 的平面与立体相截，截面区域为 $D_z$ ，只要能求 $[c,d]$ 上任意一 $z$ 处的线密度 $\mu(z)$ 即可求解

$$\begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV&=\int_c^d\mu(z)dz =\int_c^d[\iint_{D_x}f(x,y,z)d\sigma]dz\\ &=\int_c^ddz\iint_{D_x}f(x,y,z)d\sigma \end{align}$$

若 $D_x$ 为 $x$ 型区域，$y_1(x,z)\leq y\leq y_2(x,z),x_1(z)\leq x\leq x_2(z)$ ，则有

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_c^ddz\int_{x_1(z)}^{x_2(z)}dx\int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)}f(x,y,z)dy$$

当 $f(x,y,z)$ 仅是 $z$ 的表达式，而 $D_z$ 的面积又容易计算时，记 $f(x,y,z)=g(z)$

$$\begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV&=\iiint_Vg(z)dV=\int_c^ddz\iint_{D_z}g(z)dxdy\\ &=\int_c^dg(z)dz\int_{D_x}dxdy=\int_c^dg(z)S_{D_x}dz \end{align}$$

柱面坐标系三重积分

在计算三重积分 $\begin{align}\iiint_Vf(x,y,z)dV\end{align}$ 时，若 $f(x,y,z)$ 中含有 $x^2+y^2$ ， $V$ 在 $Oxy$ 平面上投影区域是圆域或圆域的一部分时可以进行柱面坐标变换

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$ $$\begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV &=\iiint_Vf(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz\\ &=\iint_{\sigma xy}rdrd\theta\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\\ &=\int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr \int_{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz \end{align}$$

球面坐标系三重积分

若三重积分被积函数中含有 $x^2+y^2+z^2$ ，可对这一类积分进行球面坐标变换

$$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z \end{cases} \quad \begin{cases} z=\rho\cos\varphi\\ r=\rho\sin\varphi\\ \theta=\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta\\ z=\rho\cos\varphi \end{cases}$$ $$\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta$$

广义球坐标有 $dV=abc\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta$

三重积分的一般曲面坐标变换

求 $\begin{align}\iiint_Vf(x,y,z)dV\end{align}$ ，其中 $f(x,y,z)$ 连续，设变换：

$$\begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w) \end{cases}$$

均具有连续的偏导数，且有：

$$|J|= \begin{vmatrix} \begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \end{align} \end{vmatrix} \neq 0$$

则对应该一般的曲面坐标变换，有：

$$\iiint_Vf(x,y,z)dV= \iiint_Vf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \begin{vmatrix}\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \end{align}\end{vmatrix} dudvdw$$

第一类曲线积分

设函数 $f(P)$ 是定义 $A,B$ 为端点的光滑曲线 $\Gamma$ 上的有界函数，在 $\Gamma$ 上任取点

$$A=M_0,M_1,M_2,\cdots,M_n=B$$

将曲线分成 $n$ 个部分，记弧 $\overparen{M_{i-1}M_i}$ 的长度为 $\Delta s_i$ ，并取点 $P_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$

$$\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i$$

记 $\lambda=\max\{\Delta s_i:1\leq i\leq n\}$ 当 $\lambda\rightarrow0$ 时，此极限的值与曲线分法和取点无关，则称此极限值为函数 $f(P)$ 沿曲线 $\Gamma$ 的第一类积分曲线

$$\int_\Gamma f(P)ds=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i$$ $$\int_{\Gamma}f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt$$ $$\begin{align} \int_\Gamma f(x,y)ds &=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt\\ &=\int_a^bf(x,\varphi(x))\sqrt{1+\varphi'^2(x)}dx\\ &=\int_c^df(\phi(y),y)\sqrt{1+\phi'^2(y)}dy\\ &=\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta \end{align}$$

第一类曲面积分

设 $f(P)=f(x,y,z)$ 是定义在有界光滑曲面 $S$ 上的有界函数，用曲线网将 $S$ 任意分成 $n$ 部分 $\Delta S_1,\Delta S_2,\cdots,\Delta S_n$ ，仍用其表示面积，在 $\Delta S_i$ 上取点 $P_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$

$$\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i$$

以 $\lambda$ 表示 $\Delta S_i$ 直径中的最大者，当 $\lambda\rightarrow 0$ 时，若和式极限存在，且此极限值与曲面的分法以及 $P_i$ 的取法无关，则称其为函数 $f(P)$ 沿曲面 $S$ 的第一类曲面积分

$$\iint_Sf(P)dS=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i$$ $$\begin{align} \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{yz}}f(x(y,z),y,z) \sqrt{1+(\frac{\partial x}{\partial y})^2+ (\frac{\partial x}{\partial z})^2}d\sigma\\ \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{zx}}f(x,y(x,z),z) \sqrt{1+(\frac{\partial y}{\partial x})^2+ (\frac{\partial y}{\partial z})^2}d\sigma\\ \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{xy}}f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+ (\frac{\partial z}{\partial y})^2}d\sigma \end{align}$$

若曲面 $S$ 由方程 $F(x,y,z)=0$ 给出，且确定隐函数 $z=z(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy}$ ，并且有 $\begin{align}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x’}{F_z’},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y’}{F_z’}\end{align}$ 连续，则有

$$\iint_sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{\sqrt{F_x'^2+F_y'^2+F_z'^2}}{|F_z'|}d\sigma$$

---

Chapter-10 第二类曲线/面积分

第二类曲线积分

设 $\Gamma$ 是以 $A,B$ 为端点的光滑曲线，并指定从 $A$ 到 $b$ 的方向为曲线方向，在 $\Gamma$ 上每一点 $M$ 处作曲线的单位切矢量

$$e_{T}(M)=\cos\alpha\cdot i+\cos\beta\cdot j+\cos\gamma\cdot k$$

设 $A(M)=A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$ 其中 $P,Q,R$ 是定义在曲线 $\Gamma$ 上的有界函数，则函数

$$A\cdot e_T=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma$$

在曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分

$$\int_\Gamma A\cdot e_Tds=\int_\Gamma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds$$

称为函数 $A(P)=A(x,y,z)$ 沿曲线 $\Gamma$ 从 $A$ 到 $B$ 的第二类曲线积分

性质1

$$\int_{\Gamma_{AB}}(A\cdot e_T)ds=-\int_{\Gamma_{BA}}(A\cdot e_T)ds$$

性质2
若有向曲线 $\Gamma$ 是由有向曲线 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 首尾衔接而成，则

$$\int_{\Gamma}(A\cdot e_T)ds=\int_{\Gamma_1}(A\cdot e_T)ds+\int_{\Gamma_2}(A\cdot e_T)ds$$

第二类曲线积分计算

设光滑曲线 $\Gamma_{AB}$ 方程为 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$ ，点 $A$ 对应的参数为 $t_A$ ，点 $B$ 对应的参数为 $t_B$ 且函数 $A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 的分量 $P,Q,R$ 在 $\Gamma$ 上连续

$$\begin{align} \int_{\Gamma_{AB}}A\cdot e_T ds &=\int_{\Gamma_{AB}}A\cdot ds\\ &=\int_{\Gamma_{AB}}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds\\ &=\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz\\ &=\int_{t_A}^{t_B}P(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt+ \int_{t_A}^{t_B}Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt+\\ &\quad\int_{t_A}^{t_B}R(x(t),y(t),z(t))z'(t)dt\\ &=\int_{t_A}^{t_B}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+ Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+\\ &\quad R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt \end{align}$$

格林公式

被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同，积分仍然相同

边界曲线 $\Gamma$ 的正向规定为当人沿边界行走时，区域总在左侧
若函数 $P,Q$ 在有界闭区域 $D\subset R^2$ 上连续且具有一阶连续偏导数，则

$$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy =\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy =\iint_{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q \end{vmatrix}dxdy$$

令 $P=-y,Q=x$ 可以得到计算平面区域 $S$ 的公式，若 $\Gamma$ 是区域 $D$ 边界曲线正向

$$\oint_\Gamma-ydx+xdy=\iint_D[1-(-1)]dxdy=2S$$

格林公式左侧是减号的原因是：沿 $x$ 和 $y$ 不同的顺序积分，顺逆时针不同
格林公式的形象解释

单连通区域

若平面区域 $D$ 内任一封闭曲线，皆可不经过 $D$ 以外的点而连续收敛于 $D$ 中的一个点，即若 $D$ 内任一封闭曲线所包围的区域均包含于 $D$ 内，则这个”没有洞“的区域称为平面单连通区域，否则称为平面副连通区域

第二类曲线积分在满足一定的条件下，即满足 $\begin{align}\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y}\end{align}$ 时，第二类曲线积分与积分路径无关

设 $D\subset R^2$ 是平面单连通区域，若 $P,Q$ 在 $D$ 上连续，且有一阶连续偏导数，以下四个条件等价

• 沿 $D$ 中任一按段光滑的闭曲线 $L$ ，有 $\begin{align}\oint_L Pdx+Qdy=0\end{align}$
• 对 $D$ 中任一按段光滑曲线 $L$ ，曲线积分 $\begin{align}\int_L Pdx+Qdy\end{align}$ 与路径无关，只与 $L$ 的起点和终点有关
• $Pdx+Qdy$ 是 $D$ 内某一函数 $u$ 的全微分，即在 $D$ 内存在一个二元函数 $u(x,y)$ 使 $du=Pdx+Qdy$ ，即 $\begin{align}\frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q\end{align}$
• 在 $D$ 内每一点处，有 $\begin{align}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\end{align}$

  牛顿-莱布尼茨公式

若第二类曲线积分 $\begin{align}\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_0,y_0)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align}$ 与路径无关，可以用一元函数定积分表示

$$\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy =\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)dx +\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)dy$$

则 $Pdx+Qdy$ 的全体原函数为

$$u(x,y)=\int_{x_0}^xP(x,y_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)dy+C$$

若 $(0,0)\in D$ 则可以把 $Pdx+Qdy$ 的全体原函数写成

$$\int_0^x P(x,0)dx+\int_0^yQ(x,y)dy+C$$

可以证明，若 $du(x,y)=Pdx+Qdy$ 其中 $P,Q$ 具有连续偏导数，则有

$$\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}Pdx+Qdy =u(x,y)\Big|_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)} =u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)$$

该公式称为曲面积分的牛顿-莱布尼茨公式

复连通区域

设在复连通区域 $D$ 内，$P,Q$ 具有连续的偏导数且 $\begin{align}\frac{dP}{dy}\equiv\frac{dQ}{dx}\end{align}$ ，则环绕同一些洞的任何两条闭曲线（取同方向）上的曲线积分都相等，叫做环绕这个洞的循环常数

第二类曲面积分

设 $S$ 是光滑有界的定侧曲面，记 $S$ 上每一点 $M(x,y,z)$ 处沿曲面定侧的单位法矢量为

$$e_n(M)=\cos\alpha i+\cos\beta j+\cos\gamma k$$

又设

$$A(M)=A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,M(x,y,z)\in S$$

其中 $P,Q,R$ 是定义在 $S$ 上的有界函数，则函数

$$A\cdot e_n=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma$$

在 $S$ 上的第一类曲面积分

$$\iint_SA\cdot e_ndS=\iint_S(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS$$

称为函数 $A(P)=A(x,y,z)$ 沿定侧曲面 $S$ 的第二类曲面积分
其中 $e_ndS$ 称为有向面积元素，将它的三个投影分别记为

$$\begin{cases} \cos\alpha dS=dydz\\ \cos\beta dS=dzdx\\ \cos\gamma dS=dxdy \end{cases}$$

则第二类曲面积分可以写成如下形式

$$\iint_S P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$

第二类曲面积分的计算

当 $0\leq\gamma\leq\pi$ 时，$\cos\gamma=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)|\cos\gamma|$ ，于是有

$$\begin{align} dxdy&=\cos\gamma dS=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)|\cos\gamma|dS\\ &=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)d\sigma \end{align}$$

其中 $d\sigma$ 是 $dS$ 在 $Oxy$ 平面上投影区域的面积

$$\begin{align} \iint_S R(x,y,z)dxdy&=\iint_SR(x,y,z)\cos\gamma dS\\ &=\iint_{\sigma_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)d\sigma\\ &=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)\iint_{\sigma_{xy}}R(x,y,z(x,y))d\sigma \end{align}$$

将分别在三个坐标面投影处理的积分转化为只需要向同一个坐标面投影的积分

$$\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iint(-z_xP-z_yQ+R)dxdy$$

若曲线 $S$ 由单一方程 $F=(x,y,z)$ 给出，也可以考虑将积分转换为第一类曲面积分

$$I=\iint_S\{P,Q,R\}\cdot ndS,\quad n=\{F_x,F_y,F_z\}/\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$$

高斯公式

设空间区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成，若函数 $P,Q,R$ 在 $V$ 上连续且有一阶偏导，则

$$\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\unicode{8751}_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

其中 $S$ 取外侧，上式称为高斯公式，若取内侧则需要在右侧添负号

若 $S$ 为封闭的简单曲面， $l$ 为任何固定方向，则 $\unicode{8751}_S\cos(n,l)dS=0$ 其中 $n$ 为法向量

散度场

设 $A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量函数，对于 $V$ 上每一点 $(x,y,z)$ ，称函数 $\begin{align}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\end{align}$ 为向量函数 $A$ 在点 $M(x,y,z)$ 处的散度，记作：

$$\mathrm{div} A(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

设 $e_n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为曲面的单位法向量，则 $dS=e_ndS$ 称为曲面的面积元素，则高斯公式还可以写成如下形式

$$\iiint_V\mathrm{div}AdV=\unicode{8751}A\cdot dS$$

在 $V$ 中任取一点 $M_0$ ，对式中的三重积分应用中值定理，得

$$\iiint_V\mathrm{div}AdV=\mathrm{div}A(M^\ast)\cdot\Delta V=\unicode{8751}_SA\cdot dS$$

其中 $M^\ast$ 为 $V$ 中的某一点，令 $V$ 收缩到 $M_0$ ，则 $M^\ast$ 也趋向点 $M_0$ ，因此

$$\mathrm{div}A(M_0)=\mathrm{div}A(M^*) =\lim_{V\rightarrow M_0}\frac{\unicode{8751}_S A\cdot dS}{\Delta V}$$

若 $\mathrm{div}A(M_0)>0$ 则该点为源，$\mathrm{div}A(M_0)>0$ 则该点为汇，若 $\mathrm{div}A=0$ 则该点为无源场

散度场推论

若在封闭曲面 $S$ 所包围的区域中处处都有 $\mathrm{div}A=0$ 则

$$\unicode{8751}A\cdot dS=0$$

如果仅在区域 $V$ 中某些点 $\mathrm{div}A\neq 0$ 或 $\mathrm{div}A$ 不存在，其他的点都有 $\mathrm{div}A=0$ ，则通过包围这些点或子区域的 $V$ 内任一封闭曲面积分都是相等的，即是一个常数，有

$$\unicode{8751}_{S_1}A\cdot e_n dS=\unicode{8751}_{S_2}A\cdot e_ndS$$

其中 $S_1,S_2$ 是包围散度不为 $0$ ，或不存在的点的任意两个封闭曲面，发现单位矢量向外

斯托克斯公式

设光滑曲面 $S$ 的边界 $L$ 是按段光滑的连续曲线，若函数 $P,Q,R$ 在 $S$（连同 $L$ ）上连续，且有一阶连续偏导数，则有

$$\begin{align} &\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz +(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\ =&\oint Pdx+Qdy+Rdz \end{align}$$

其中 $S$ 得侧面与 $L$ 的方向按右手法则确定，称为斯托克斯公式，也可以写作

$$\iint_S \begin{vmatrix} dydz&dzdx&dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix} =\oint_L Pdx+Qdy+Rdz$$

斯托克斯公式

空间曲线积分与路径无关性

设 $\Omega\subset R^3$ 为空间单连通区域，若函数 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上连续且有一阶连续偏导数，以下等价

• 对于 $\Omega$ 内任一按段光滑的封闭曲线 $L$ ，有 $\begin{align}\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0\end{align}$
• 对于 $\Omega$ 内任一按段光滑的曲线 $\Gamma$ ，曲线积分 $\begin{align}\int_\Gamma Ldx+Qdy+Rdz\end{align}$ 与路线无关
• $\begin{align}Pdx+Qdy+Rdz\end{align}$ 是 $\Omega$ 内某一函数 $u(x,y,z)$ 的全微分，$du=Pdx+Qdy+Rdz$
• $\begin{align}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}\end{align}$ 在 $\Omega$ 内处处成立
  $\begin{align}u(x,y,z)=\int_{x_0}^xP(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z}R(x,y,z)dz+C\end{align}$

  旋度场

设 $A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量函数，对 $V$ 上一点 $M(x,y,z)$ ，定义向量函数 $\begin{align}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\end{align}$ ，称它为向量函数 $A$ 在点 $M(x,y,z)$ 处的旋度，记作 $\mathrm{rot}A$

$$\mathrm{rot}\,A= \begin{vmatrix} i&j&k\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}$$

于是斯托克斯公式可以写成如下向量形式

$$\iint_S\mathrm{rot}\,A\cdot dS=\oint_L A\cdot ds$$

散度与旋度

向量微分算子

定义向量微分算子 $\begin{align}\nabla=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k\end{align}$ 则有 $\mathrm{div}\,A=\nabla\cdot A,\mathrm{rot}\,A=\nabla\times A$
高斯公式和斯托克斯公式可以写成

$$\begin{align} &\iiint_V\nabla\cdot AdV=\unicode{8751}_S A\cdot dS\\ &\iint_S(\nabla\times A)\cdot dS=\oint_\Gamma A\cdot ds \end{align}$$

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Chapter-11 级数

数项级数的定义

设 $u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots$ 是给定的数列，称 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots\end{aligned}$ 为数项级数，称 $\begin{aligned}S_n=\sum_{i=1}^nu_i\end{aligned}$ 为部分和，则有 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{aligned}$

几何级数的敛散性

几何级数 $\begin{aligned}a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\quad(a\neq0)\end{aligned}$ 的敛散性满足：

• 当 $|q|<1$ 时，几何级数收敛，且 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}=\frac{a}{1-q}\end{aligned}$
• 当 $|q|\geq1$ 时，几何级数发散，即 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\mathrm{DNE}\end{aligned}$

$p$ 级数的敛散性

$p$ 级数 $\begin{aligned}1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}$ 的敛散性满足：

• 当 $p>1$ 时，级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}$ 收敛
• 当 $p\leq1$ 时，级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}$ 发散

数项级数的基本性质

性质 1
若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\sum_{n=1}^{\infty}v_n\end{aligned}$ 均收敛，且 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}u_n=A,\sum_{n=1}^{\infty}v_n=B\end{aligned}$ ，则对任何常数 $\alpha,\beta$ ，$\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(\alpha u_n+\beta v_n)\end{aligned}$ 收敛，且有 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(\alpha u_n+\beta v_n)=\alpha\sum_{n=1}^\infty u_n+\beta\sum_{n=1}^\infty v_n=\alpha A+\beta B\end{aligned}$

性质 2
改变级数的有限项，或去掉前面有限项，或在级数前面加上有限项，都不影响级数的敛散性

性质 3
若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛，则在级数中任意添加括号得到的新级数也收敛，且其和不变

性质 4
若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{aligned}$，逆命题不一定成立

性质 5
若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\mathrm{DNE}\end{aligned}$ 或 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=A\neq0\end{aligned}$ 则级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散

性质 6
柯西收敛准则：级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0 \exists$ 正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，对一切正整数 $p$ ，都有 $|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\varepsilon$

正项级数的收敛性

正项级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛的充要条件是：正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界

正项级数的比较判别法

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 均为正项级数，且 $u_n\leq v_n(n=1,2,3,\cdots)$

• 若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛
• 若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 发散
  定理条件可弱化为 $u_n\leq Cv_n(C>0)(n=k,k+1,\cdots)$

比较判别法的极限形式

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 均为正项级数，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\end{aligned}$

• 当 $0<l<+\infty$ 时，两个级数同敛散性
• 当 $l=0$ 时，若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛
• 当 $l=+\infty$ 时，若 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}$ 发散，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散

比值判别法

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 是正项级数，并且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\gamma\quad(或 +\infty)\end{aligned}$

• 当 $\gamma<1$ 时，级数收敛
• 当 $\gamma>1(或 \gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别法失效
  本判别法适合 $u_{n+1}$ 与 $u_n$ 有公因式且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\end{aligned}$ 存在或等于 $\infty$ 的情形

  根值判别法

  设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 是正项级数，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\gamma\quad(或+\infty)\end{aligned}$
• 当 $\gamma<1$ 时，级数收敛
• 当 $\gamma>1(或 \gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别法失效
  本判别法适合 $u_n$ 中含有表达式的 $n$ 次方，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}\end{aligned}$ 存在或等于 $\infty$ 的情形

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上是非负且递减的连续函数，记 $u_n=f(n),n=1,2,3,\cdots$ ,则级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 与反常积分 $\begin{aligned}\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$ 的敛散性相同

莱布尼茨定理

若交错级数 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{aligned}$ 满足条件 $u_1\geq u_2\geq u_3\geq\cdots$ 且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{aligned}$
则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{aligned}$ 收敛，并且它的和 $S\leq u_1$
若交错级数满足莱布尼茨定理的条件，则以 $S_n$ 作为级数和近似值时，误差 $R_n$ 不超过 $u_{n+1}$

绝对收敛级数与条件收敛级数

如果 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 收敛，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n \end{aligned}$ 也收敛
设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 为一般级数，则

• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 收敛，则称 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 绝对收敛
• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 发散，但 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 收敛，则称 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 条件收敛
  如果是用比值判别法或根值判别法判定 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}$ 发散，则 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 发散

  绝对值的比值判别法

  设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}$ 为一般级数，若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\gamma\quad(或+\infty)\end{aligned}$
• 当 $\gamma<1$ 时，级数绝对收敛
• 当 $\gamma>1(或\gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别方法失效

绝对值的根值判别法

设 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n \end{aligned}$ 为一般级数，若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=\gamma\quad(或\infty)\end{aligned}$

• 当 $\gamma<1$ 时，级数绝对收敛
• 当 $\gamma>1(或\gamma=+\infty)$ 时，级数发散
• 当 $\gamma=1$ 时，本判别方法失效

函数项级数

设 $\{u_n(x)\}$ 是定义在数集 $E$ 的一个函数列，表达式 $u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots,x\in E$
称为定义在 $E$ 上的函数项级数，记为 $\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\end{aligned}$
$\begin{aligned}S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x),x\in E,n=1,2,\cdots\end{aligned}$ 称为部分和函数列

• 若即 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x_0)\end{aligned}$ 存在，则称函数项级数在点 $x_0$ 收敛，$x_0$ 称为函数项级数的收敛点
• 若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x_0)\end{aligned}$ 不存在，则称函数项级数在点 $x_0$ 发散
  函数项级数全体收敛点的集合称为函数项级数的收敛域，记为 $D$
  函数项级数在 $D$ 上的每一点 $x$，$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x)\end{aligned}$ 存在，记为 $S(x)$ ，称为函数项级数的和函数
  称 $R_n(x)=S(x)-S_n(x)=u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots$ 为函数项级数的余项 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0\end{aligned}$

幂级数

$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\end{aligned}$ 为关于 $x-x_0$ 的幂级数，$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 为关于 $x$ 的幂级数

阿贝尔定理

• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 当 $x=x_0(x_0\neq0)$ 时收敛，则 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ 使该幂级数绝对收敛
• 如果 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 当 $x=x_0$ 时发散，则 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ 使该幂级数发散
  幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，若以 $2R$ 表示区间长度，$R$ 为收敛半径

柯西-阿达马公式

若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ ,若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\end{aligned}$ （$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=R\end{aligned}$）

• 当 $0R$ 发散
• 当 $R=0$ 时，级数$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 仅在 $x=0$ 处收敛，$x\neq0$ 时发散
• 当 $R=+\infty$ 时，级数$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内绝对收敛
  在 $x=\pm R$ 时，幂级数可能发散也可能收敛，需要具体验证
  称 $R$ 为幂级数的收敛半径， $(-R,R)$ 为幂级的收敛区间
  对于求不是标准形式幂级数的收敛半径，可以直接利用绝对值的比值判别法或作变量替换

幂级数的性质

若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 的收敛半径为 $R(>0)$ ，则有：

• 级数在收敛域上的和函数 $S(x)$ 是连续函数，$S(x)$ 在 $(-R,R)$ 内也连续
• 幂级数在 $(-R,R)$ 内逐项可微，微分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径
• 幂级数在 $(-R,R)$ 内逐项可积，积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径

即设 $S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots,|x|<R$ ，则

• $S(x)$ 在 $|x|<R$ 上连续
• $\begin{aligned}S’(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots)\\&=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots,\quad|x|<R\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\int_0^xS(x)\mathrm{d}x&=\int_0^x(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots)\mathrm{d}x\\&=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\cdots,\quad|x|<R\end{aligned}$

设 $S(x)$ 为幂级数在收敛区间 $(-R,R)$ 内的和函数，则在 $(-R,R)$ 内 $S(x)$ 具有$任何阶导数且可逐项求导，收敛半径仍为 $R$

唯一性定理：设 $S(x)$ 为幂级数在某邻域内的和函数，则幂级数的系数在 $x=0$ 处的各阶导数具有关系：$\begin{aligned}a_0=S(0),\quad a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!},\quad n=1,2,\cdots\end{aligned}$

• 若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在收敛区间的端点 $x=R$ 处收敛，则 $S(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在 $x=R$ 处左连续，即 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow R^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nR^n\end{aligned}$ 或 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow R^-}S(x)=S(R)\end{aligned}$
• 若幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在收敛区间的端点 $x=-R$ 处收敛，则 $S(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 在 $x=-R$ 处右连续，即 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -R^+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n\end{aligned}$ 或 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -R^+}S(x)=S(-R)\end{aligned}$

  幂级数的运算

  若级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 与 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\end{aligned}$ 在 $x=0$ 的某邻域相等，则它们的同次幂项的系数相等
  设 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$ 和 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\end{aligned}$ 的收敛半径分别为 $R_a$ 和 $R_b$ ，则有
• $\begin{aligned}\lambda\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \lambda a_nx^n,\quad|x|<R_a\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n,\quad|x|<R\end{aligned}$
• $\begin{aligned}(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n,\quad|x|<R\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\frac{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\Rightarrow(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty c_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}$
  其中 $\lambda$ 为常数，$\begin{aligned}R=\min\{R_a,R_b\},\quad c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\end{aligned}$

求幂级数的和函数常用方法

• 利用幂级数的线性运算法则
• 利用变量代换
• 通过逐项求导，再利用 $\begin{aligned}S(x)=S(0)+\int_0^xS’(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$
• 通过逐项积分，再利用 $S(x)=\begin{pmatrix}\begin{aligned}\int_0^xS(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\end{pmatrix}’$

函数展成幂级数

当 $f(x)$ 在区间 $|x-x_0|<R$ 内存在任意阶的导数，幂级数 $\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{aligned}$ 的收敛条件为 $|x-x_0|<R$ ，则在 $|x-x_0|<R$ 内 $f(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{aligned}$ 成立的充要条件是：在该区间内 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(0)+\frac{f’(0)}{1!}+\frac{f’’(0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\end{aligned}$ 称为 $f(x)$ 的麦克劳林级数

• $\begin{aligned}\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,\quad|x|<1\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,\quad|x|<1\end{aligned}$
• $f^{(n)}(x_0)=n!a_n,\quad n=0,1,2,\cdots$

欧拉公式

当 $x$ 为实数时，有 $\begin{aligned}e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\end{aligned}$ ,推广到虚数，有
$\begin{aligned}e^{\mathrm{i}x}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}x)^n}{n!}=1+\mathrm{i}x+\frac{(\mathrm{i}x)^2}{2!}+\frac{(\mathrm{i}x)^3}{3!}+\frac{(\mathrm{i}x)^4}{4!}+\cdots\\&=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots)+\mathrm{i}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots)\end{aligned}$

• $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$
• $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=\cos x-\mathrm{i}\sin x$
• $\begin{aligned}\sin x=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\end{aligned}$
• $\begin{aligned}\cos x=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\end{aligned}$

函数的傅里叶展开

周期 $T=2l$ 的函数 $f(x)$ 可以表示成 $\begin{aligned}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})\end{aligned}$
在标准区间 $[-l,l]$ 上的三角解函数系：

$$\begin{aligned}1,\quad\cos\frac{\pi x}{l},\quad\sin\frac{\pi x}{l},\quad\cos\frac{2\pi x}{l},\quad\sin\frac{2\pi x}{l},\quad\cdots,\quad\cos\frac{n\pi x}{l},\quad\sin\frac{n\pi x}{l},\quad\dots\end{aligned}$$ $$\begin{cases}\begin{aligned}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\end{aligned},\quad n=0,1,2,\cdots\\\begin{aligned}b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\end{aligned},\quad n=1,2,3,\cdots\end{cases}$$

当 $f(x)$ 为奇函数，则 $a_n=0$ , 称为傅里叶正弦级数
当 $f(x)$ 为偶函数，则 $b_n=0$ ，称为傅里叶余弦级数

狄利克雷定理

如果 $f(x)$ 是以 $T=2l$ 为周期的周期函数，且 $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上逐段光滑，那么 $f(x)$ 的傅里叶级数在任意点 $x$ 处都收敛，并且收敛于 $f(x)$ 在该点左右极限的平均值，即

$$\begin{aligned}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})&=S(x)\\&=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},x\in(-\infty,+\infty)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}S(x)=\begin{cases}f(x)&当 x 是 f(x) 的连续点时;\\\begin{aligned}\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\end{aligned}&当 x 是 f(x) 的第一类间断点时;\\\begin{aligned}\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}\end{aligned}&当 x=\pm l\end{cases}\end{aligned}$$

对函数作周期延拓补充为一个周期函数

对函数延拓

• 奇延拓 $F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in(0,l]\\0,&x=0\\{-f(-x)},&x\in[-l,0)\end{cases}$
• 偶延拓 $F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in[0,l]\\f(-x),&x\in[-l,0)\end{cases}$

解题总结与易错点

重积分计算

（1） 利用对称性化简计算（部分为零、轮换对称等）
（2）交换积分顺序
（3） 转化为极坐标系、广义极坐标系、柱坐标系等

曲面积分

（1）若曲面积分式为多项，而曲面又不是平面或柱面，就不适宜采用分面投影法
（2）将曲面补全后使用高斯公式，或去除为零的部分后使用高斯公式
（3）投影至同一个面后一起积分
（4）利用法向量转化为第一类曲面积分计算

积分技巧

对于球积分，如果存在 $\begin{align}\iint x^2dS\end{align}$ 项，可以通过补等值项转化为球坐标系化简运算

$$\iiint x^2dS=\frac{1}{3}\iiint(x^2+y^2+z^2)dS$$

同理对于柱面积分，如果存在 $\begin{align}\iint x^2dS\end{align}$ ，可以补项得到

$$\iint x^2dS=\frac{1}{2}\iint(x^2+y^2)dS$$

级数和函数及求偏导数

注意定义域，一些和函数需要分类讨论，重点关注最终结果分母是否可能为零

反证法：
假设对于任意点 $(x’,y’)\in\{(x,y)\in R|x^2+y^2<1\}$ 都有 $[f_1'(x',y')]^2+[f_2'(x',y')]^2>16$
则有 $\mathrm{grad}\,(x’,y’)\cdot\mathrm{grad}\,(x’,y’)>16$ 对于任意 $(x’,y’)$ 成立
根据几何意义，对于任意一点 $(x’,y’)$ ，其梯度方向的方向导数总大于 $4$
而由于 $D$ 内一阶偏导数连续，极值存在的必要条件是两个偏导数均为零
由假设开区域内不满足两个偏导数平方和为零，极值只可能在边界上取得
构造从圆心出发的一条路径，路径上每一个点的切线方向与梯度方向一致
则这条路径一定不可能终止于开区域内，因为开区域内永远有非零梯度
而从圆心到边界的最短距离为 $1$ ，从圆心到边界 $f(x,y)$ 的值至少减少 $4$
这与 $|f(x,y)|\leq1$ 矛盾，故假设不成立
所以 $\exists(x’,y’)\in\{(x,y)\in R|x^2+y^2<1\},[f_1’(x’,y’)]^2+[f_2’(x’,y’)]^2\leq16$ 成立