微积分甲I

Chapter-1 数列极限

数列极限定义

设 $\{a_n\}$ 是 $\mathrm{R}$ 中的一个数列，如果存在 $a\in\mathrm{R}$ 使得 $\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathrm{N_+}$ ，当 $n\geq N$ 时，都有 $|a_n-a|<\varepsilon$ ，就称数列 $\{a_n\}$ 是收敛于 $a$ 的，记为 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\end{aligned}$ ,称 $a$ 是数列 $\{a_n\}$ 的极限

数列极限性质

唯一性 如果数列 $\{a_n\}$ 收敛，那么其极限是唯一的

有界性 如果数列 $\{a_n\}$ 收敛，那么 $\{a_n\}$ 是有界的，即 $\exists M>0,\forall n\in\mathrm{N_+},|a_n|\leq M$

保号性 如果 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a>0\end{aligned}$ 那么 $\forall p\in(0,a),\exists N>0$ 当 $n\geq N$ 时 $a_n>p>0$

夹逼定理

设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足当 $n\geq N_0\in\mathrm{N}_+$ 时，有 $b_n\leq a_n\leq c_n$ 并且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}c_n=a\end{aligned}$ ，则数列 $\{a_n\}$ 也是收敛的，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\end{aligned}$

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

设 $\{a_n\}$ 是 $\mathrm{R}$ 中的一个有界数列，则数列 $\{a_n\}$ 中存在收敛的子列

柯西准则

设 $a_n$ 是 $\mathrm{R}$ 中的一个数列，若对于任意 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $m,n\geq N$ 时， $|a_m-a_n|<\varepsilon$ 则称 $\{a_n\}$ 是柯西数列，$\{a_n\}$ 收敛当且仅当 $\{a_n\}$ 是柯西数列

施托尔茨第一公式

给定数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ ，若 $\{x_n\}$ 单调增加，且 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=+\infty\end{aligned}$ ,

若 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a\end{aligned}$ ，那么有 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n}{x_n}=a\end{aligned}$ ，其中 $a$ 可以是实数也可以是 $\pm\infty$

施托尔茨第二公式

给定数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ ，若$\{x_n\}$ 单调减少，且 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}y_n=0\end{aligned}$ ，

若$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a\end{aligned}$ ，那么有 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n}{x_n}=a\end{aligned}$ ，其中 $a$ 可以是实数也可以是 $\pm\infty$

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Chapter-2 函数的极限与连续性

函数极限

设 $f:D\rightarrow\mathrm{R}$ ，$D$ 是 $\mathrm{R}$ 的子集并且包含 $x_0$ 的某去心邻域，如果存在 $A\in\mathrm{R}$ ，使得对于任意的 $\varepsilon>0,\exists \delta>0$ ，当 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\cap D$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，就称 $x$ 趋于 $x_0$ 时，$f(x)$ 趋于 $A$ ，记为 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\end{aligned}$

归结原理

设 $f:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R},\exists\mathring{U}(x_0)\subset D$ ，则 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\end{aligned}$ 的充要条件为：对于任意满足 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0,x_n\neq x_0,n=1,2,3,\cdots\end{aligned}$ 的数列 $\{x_n\}$ ，其对应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 均有 $\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A\end{aligned}$

函数极限性质

唯一性 若函数在某点有极限，则极限是唯一的

局部有界性 设 $\begin{aligned}f:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R},\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\end{aligned}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界，即 $\exists M>0,\delta>0$ 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时， $|f(x)|<M$

局部保号性 如果 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0\end{aligned}$ ，那么 $\forall p\in(0,A),\exists\delta>0,\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta),f(x)>p>0$

夹逼定理

设 $f,g,h:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R}$ ，$D$ 包含 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ ，如果 $\forall x\in\mathring{U}(x,\delta)$ ，有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ ，且满足 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)=A\end{aligned}$ 那么有 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\end{aligned}$

单侧极限

$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A\end{aligned}$

函数连续

设 $f:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R}$ ，$D$ 包含 $x_0$ 的某个邻域，如果 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\end{aligned}$ 则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续

第一类间断点 左极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\end{aligned}$ 和右极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\end{aligned}$ 都存在但 $f$ 在 $x_0$ 处不连续

跳跃间断点 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\end{aligned}$

可去间断点 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)\end{aligned}$ 或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有定义

第二类间断点 如果 $f$ 在 $x_0$ 处的左右极限至少有一个不存在

函数一致连续

设函数 $f:I\rightarrow\mathrm{R}$ ，如果 $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$ ，使得 $\forall x_1,x_2\in I$ ，当 $|x_1,x_2|<\delta$ 时，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ ，就称函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续

康托尔定理

设函数 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续

无穷小

设 $f(x),g(x)$ 是当 $x\rightarrow x_0$ 时的无穷小，且 $g(x)\neq0$

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}$ ，则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小（更快趋于 $0$ ）记为 $f(x)=o(g(x))$

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}$ ，则称 $g(x)$ 是比 $f(x)$ 低阶的无穷小（更慢趋于 $0$ ）记为 $f(x)=o(g(x))$

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0\end{aligned}$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶无穷小，记为 $f(x)=O(g(x))$

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小，记为 $f(x)\sim g(x)$

无穷大

设 $f(x),g(x)$ 是当 $x\rightarrow x_0$ 时的无穷大

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}$ ，则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷大（增长更慢 ）

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}$ ，则称 $g(x)$ 是比 $f(x)$ 高阶的无穷大（增长更快）

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0\end{aligned}$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶无穷大

若 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷大

等价无穷小替换

设 $f,g,\alpha,\beta$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是无穷小，且 $f\sim\alpha,g\sim\beta$ ，如果 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\end{aligned}$ 存在，

那么有 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\end{aligned}$

有限闭区间上连续函数的性质

有界性、最大值最小值定理、零点存在定理、介值定理、不动点

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Chapter-3 导数与微分

导数定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{aligned}$ 存在，就称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，$x_0$ 是 $f$ 的可导点，极限值为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记为 $f’(x_0)$

单侧导数

若函数 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，则 $f$ 在 $x_0$ 处可导当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处分别左右导数相等

反函数求导

函数 $y=f(x)$ 在 $U(x_0)$ 严格单调，在 $x_0$ 可导且 $f’(x_0)\neq0,y_0=f(x_0),g:U(y_0)\rightarrow U(x_0)$ 为 $y=f(x)$ 的反函数，则函数 $g$ 在 $y_0$ 处可导，且 $g’(y_0)=\dfrac{1}{f’(x_0)}$

由 $y_0=f(x_0)$ 有 $g’(f(x_0))=\dfrac{1}{f’(x_0)}$ ，即 $g’(x)=\dfrac{1}{f’(g(x))}$

参数方程的导数

对于参数方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$ 有 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\varphi’(t)，\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\psi’(t)$ 则 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}$

参数方程的导数可以表示为 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\dfrac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}\end{cases}$ 或 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}\bigg|_{t=\varphi^{-1}(x)}$

莱布尼茨公式

若函数 $u,v$ 均 $n$ 阶可导，则乘积函数 $uv$ 也 $n$ 阶可导

$\begin{aligned}(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}u^{(n-k)}v^{(k)}\end{aligned}$

微分定义

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 某个邻域内有定义， $\Delta x$ 是自变量的一个改变量，如果存在不依赖于 $\Delta x$ 的常数 $A$ ，使得当 $|\Delta x|$ 充分小时，函数的增量

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x),\Delta x\rightarrow 0$

那么称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，称 $A\Delta x$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分，记为 $\mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta{x}$

近似估计与误差分析

$f(x_0+\Delta{x})\approx f(x_0)+f’(x_0)\Delta x$

在测量某个值 $x^$ 时得到的 $x$ 是一个近似值，程 $|x-x^|$ 为绝对误差， $\dfrac{|x-x^*|}{|x|}$ 为相对误差

如果存在 $\delta_x>0$ 使 $|x-x^*|\leq\delta_x$ ，则称 $\delta_x$ 为绝对误差限，$\dfrac{\delta_x}{|x|}$ 称为相对误差限

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Chapter-4 微分中值定理

函数极值

设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果存在 $\delta>0$ 使得对于任何 $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 恒有 $f(x)\leq f(x_0)$ ,就称 $f(x_0)$ 是函数 $f$ 的一个极大值， $x=x_0$ 为极大值点

费马定理

设 $x_0$ 为函数 $f$ 的极值点，如果 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f’(x_0)=0$

罗尔定理

如果函数 $f$ 满足在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，$f(a)=f(b)$

那么至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f’(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

如果函数 $f$ 满足在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导

那么至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f’(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理

设函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g’$ 在 $(a,b)$ 内没有零点

则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $\dfrac{f’(\xi)}{g’(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

洛必达法则

如果函数 $f$ 和 $g$ 在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内可导，且 $g’\neq0$

如果 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0\end{aligned}$ ，且极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}\end{aligned}=A$ （或 $\infty$ ）

那么有$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}\end{aligned}$

如果函数 $f$ 和 $g$ 在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内可导，且 $g’\neq0$

如果 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\infty\end{aligned}$ ，且极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}\end{aligned}=A$ （或 $\infty$ ）

那么有$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}\end{aligned}$

带佩亚诺余项的泰勒公式

$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

带拉格朗日余项的泰勒公式

$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

极值第一判别法

如果 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内连续， $f’$ 在 $x_0$ 两侧异号，那么 $x_0$ 必定是 $f$ 的极值点

极值第二判别法

假设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内连续，且在 $x_0$ 处二阶可导，如果 $f’(x_0)=0,f’’(x_0)\neq0$

则 $x_0$ 必定是 $f$ 的极值点

凹凸性判别法

设 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导

曲线 $f$ 在 $[a,b]$ 上是凹的，当且仅当在 $(a,b)$ 内恒有 $f’’\geq0$

曲线 $f$ 在 $[a,b]$ 上是凸的，当且仅当在 $(a,b)$ 内恒有 $f’’\leq 0$

渐近线

当 $x\rightarrow x_0$ 时， $f(x)\rightarrow\infty$ ，则直线 $x=x_0$ 是 $y=f(x)$ 的一条垂直渐近线

$\begin{aligned}a=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-ax]\end{aligned}$

若 $a\neq0$ 则 $y=ax+b$ 为曲线的斜渐近线，否则 $y=b$ 为曲线的水平渐近线

曲率与曲率半径

$\begin{aligned}K=\lim_{l\rightarrow0}\frac{\theta}{l}\end{aligned}$ 定义曲线在 $P$ 点处的弯曲程度，称为曲率， $R=\dfrac{1}{K}$ 为曲率半径

$K(x)=\dfrac{|f’’(x)|}{[1+(f’(x))^2]^{3/2}}$

曲率圆和曲线 $y=f(x)$ 在 $P$ 点相切，在切点有相同的凹凸性和曲率

曲率圆圆心坐标为 $(\xi,\eta),\begin{cases}\xi=x-\dfrac{f’(x)[1+(f’(x))^2]}{f’’(x)}\\\eta=f(x)+\dfrac{1+[f’(x)]^2}{f’’(x)}\end{cases}$

达布定理

设 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导， $x_1,x_2\in(a,b)$ ，且 $x_1<x_2$ ，则对于任何介于 $f’(x_1)$ 和 $f’(x_2)$ 的实数 $\eta$ ，必存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $\eta=f’(\xi)$

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Chapter-5 不定积分

第一换元积分法

设 $f(u)$ 存在原函数 $F(u),u=\varphi(x)$ 可导，则函数 $f(\varphi(x))\varphi’(x)$ 也存在原函数

$\begin{aligned}\int f(\varphi(x))\varphi’(x)\mathrm{d}x=\int f(\varphi(x))\mathrm{d}\varphi(x)=\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=F(\varphi(x))+C\end{aligned}$

第二换元积分法

设 $f(x)$ 连续，$x=\varphi(t)$ 有连续导数，且 $\varphi’(t)\neq0$ 如果 $\begin{aligned}\int f(\varphi(t))\varphi’(t)\mathrm{d}t=F(t)+C\end{aligned}$

则 $\begin{aligned}\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi’(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F(t)+C=F(\varphi^{-1}(t))+C\end{aligned}$

分部积分法

$\begin{aligned}\int u(x)v’(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int v(x)u’(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$

有理函数的不定积分

一切有理函数的原函数可以用有理函数、对数函数和反正切函数表示出来

三角有理函数的不定积分

设 $t=\tan\dfrac{x}{2},|x|<\pi$ ，则 $x=2\arctan{t}$ 有以下替换：

$\begin{cases}\mathrm{d}x=\dfrac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\\\sin x=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2t}{1+t^2}\\\cos x=\dfrac{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\end{cases}$

则 $\begin{aligned}\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\end{aligned}$

其它可有理化函数的不定积分

设 $R$ 为有理函数，则以 $\mathrm{e}^x$ 为变量的有理函数 $R(\mathrm{e}^x)$ 的积分 $\begin{aligned}\int R(\mathrm{e}^x)\mathrm{d}x\end{aligned}$

可通过变量替换 $x=\ln t$ 化成有理函数的积分 $\begin{aligned}\int R(t)\frac{1}{t}\mathrm{d}t\end{aligned}$

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Chapter-6 定积分

定积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使得 $\begin{aligned}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)\end{aligned}$

推广的定积分中值定理

若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则 $\exists\xi\in(a,b)$，使得

$\begin{aligned}\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$

柯西不等式

$\begin{pmatrix}\begin{aligned}\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\end{pmatrix}^2\leq\begin{aligned}\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x\cdot\int_a^bg^2(x)\mathrm{d}x\end{aligned}$

重要结果及技巧

$\begin{aligned}\int\csc{x}\mathrm{d}x=\int\frac{\csc{x}(\csc{x}-\cot{x})}{\csc{x}-\cot{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\csc{x}-\cot{x})}{\csc{x}-\cot{x}}=\ln|\csc{x}-\cot{x}|\end{aligned}$

$\begin{aligned}\int\sec{x}\mathrm{d}x=\int\frac{\sec{x}(\sec{x}+\tan{x})}{\sec{x}+\tan{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}=\ln|\sec x+\tan x|\end{aligned}$

$\begin{aligned}\int\cos^nx\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\sin x\cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}x\mathrm{d}x\end{aligned}$

$\begin{aligned}\int\sin^nx\mathrm{d}x=-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\mathrm{d}x\end{aligned}$

$\begin{aligned}I_n=\int\frac{\mathrm{d}x}{(a^2+x^2)^n},I_n=\frac{x}{2(n-1)a^2(a^2+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}I_{n-1}\end{aligned}$

$\mathrm{d}(\sin x+\cos x)=\cos x-\sin x,\mathrm{d}(\sin x-\cos x)=\sin x+\cos x$

$\begin{aligned}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x\end{aligned}=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2}{3}\cdot1,&n为奇数\\\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n为偶数\end{cases}$

$\begin{aligned}\Gamma(s+1)&=\int_0^{+\infty}x^{s}e^{-x}\mathrm{d}x=-x^se^{-x}\big|_0^{+\infty}+s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\mathrm{d}x\\&=s\Gamma(s)=\cdots=n!\Gamma(1)=n!\end{aligned}$

对于一切 $a>0$ ，极限 $\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow0^+}x^a\ln x=0\end{aligned}$ 成立

$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow0^+}x^a\ln x=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln x}{x^{-a}}=-\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x^{-1}}{x^{-a-1}}=-\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0^+}x^a=0\end{aligned}$

在区间对称的积分中分离出奇函数的部分

中值定理构造原函数

将结果中的未知参数换为 $x$

如果结果中既有 $f(x)$ 又含有 $f’(x)$ ，则将等式变换为 $\dfrac{f’(x)}{f(x)}+h(x)=0$ 的形式

假使 $p’(x)=h(x)$ ，则构造 $g(x)=f(x)e^{p(x)}$

积分上限函数

$\begin{bmatrix}\begin{aligned}\int_a^{g(x)}f(t)\mathrm{d}t\end{aligned}\end{bmatrix}’=f[g(x)]g’(x)$

$\begin{bmatrix}\begin{aligned}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)\mathrm{d}t\end{aligned}\end{bmatrix}’=f[g(x)]g’(x)-f[h(x)]h’(x)$

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总结-易错点

易错点1

导函数在 $x_0$ 两侧的不同单调性确保了 $f(x_0)$ 取到极值是充分条件而非必要条件

例如 $f(x)=\begin{cases}x^2(1+\sin^2(\dfrac{1}{x})),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$

易错点2

函数可导一定连续，函数连续不一定可导

易错点3

原函数不可能有第一类间断点

易错点4

利用导数的定义研究函数在一点的可导性时，要满足以下三个条件：

$\begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{aligned}$ 中 $\Delta x$ 的替换项必须与 $\Delta x$ 是同阶无穷小

$\Delta x\rightarrow 0$ 必须从左右两侧趋于 $0$

$\begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{aligned}$ 的分子上一定要有 $f(x_0)$ 这个元素

易错点5

若 $f(x)$ 为周期函数，其原函数 $F(x)$ 不一定为周期函数

若 $f(x)$ 为可导的周期函数，则 $f’(x)$ 一定为周期函数

易错点6

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界是函数可积的必要条件，无界函数一定不可积