大学物理甲I

Chapter-1 质点运动学

【注】与中学内容基本一致，略

Chapter-2 质点动力学

碰撞

对于一般碰撞，恢复系数 $\begin{align}e=\frac{v_2’-v_1’}{v_1-v_2}\end{align}$ 与两球的质量和速度无关

$$\begin{align} v_1'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-e\frac{m_2(v_1-v_2)}{m_1+m_2}\\ v_2'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-e\frac{m_1(v_2-v_1)}{m_1+m_2} \end{align}$$

【注】其余与中学内容基本一致，略

Chapter-3 刚体力学与流体力学

平动和转动

• 平动：刚体上任意两点的连线始终保持平行
• 定轴转动：刚体中各个顶点都绕某一直线作圆周运动，转轴完全固定
• 定点转定：刚体中各个顶点都绕某一直线作圆周运动，转轴一点固定

  定轴转动定律

力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，用符号 $M$ 来表示

$$M=Fd$$

如果力不在垂直于转轴的平面内，可将力分解为与转轴垂直、平行的分力

刚体定轴转动时，角加速度 $\beta$ 与外力矩之和 $M$ ，与转动惯量 $J$ 成反比

$$M=J\beta$$

转动惯量

刚体对转轴的转动惯量 $J$ 等于刚体上各质点的质量 $m_i$ 与各质点到转轴垂直距离二次方 $r_i^2$ 乘积之和

$$J=\sum m_ir_i^2=\int r^2dm$$

细杆中心转动惯量：$\begin{align}\frac{1}{12}ml^2\end{align}$
细杆一端转动惯量：$\begin{align}\frac{1}{3}ml^2\end{align}$
圆柱体几何轴转动惯量：$\begin{align}\frac{1}{2}mR^2\end{align}$
球体沿直径转动惯量：$\begin{align}\frac{2}{5}mR^2\end{align}$

若刚体对转轴的转动惯量为 $J$ ，则定义刚体对该轴的回转半径为 $R_G$ 为

$$R_G=\sqrt{\frac{J}{m}}$$

平行轴定理

刚体对任一转轴的转动惯量 $J$ 等于对通过质心的平行轴的转动惯量 $J_c$ 加上刚体质量 $m$ 与两平行轴间距离二次方 $h^2$ 的乘积，即

$$J=J_c+mh^2$$

垂直轴定理

若刚体薄板在 $xy$ 平面内，对 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $J_x,J_y$ ，则对 $J_z$ 有

$$J_z=J_x+J_y$$

定轴转动动能

刚体绕定轴转动的动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方乘积的一半

$$\begin{align} E_k&=\sum\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\frac{1}{2}m_i(\omega r_i)^2\\ &=\frac{1}{2}(\sum m_ir_i^2)\omega^2\\ &=\frac{1}{2}J\omega^2 \end{align}$$

角动量定理

刚体对轴的角动量 $L$ 等于转动惯量 $J$ 与角速度 $\omega$ 的乘积

$$L=J\omega$$

刚体定轴转动时，对轴的外力矩之和等于对该轴的角动量随时间的变化率

$$M=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega)}{dt}$$

定轴转动的质点系外力矩之和对转轴的冲量矩等于质点系对该转轴角动量的增量

角动量守恒定律

若定轴转动质点系所受对转轴的外力矩之和为零，则质点系对该转轴角动量守恒

刚体的平面运动

刚体平面运动的平动速度、加速度与基点的选择有关，而转动角速度、角加速度与基点选择无关

$$E_k=\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}J_c\omega^2$$

陀螺仪回转效应

旋进的快慢用旋进角速度 $\Omega$ 描述，旋进角速度大小为

$$\Omega=\frac{M}{L\sin\varphi}=\frac{mgr}{J\omega}$$

伯努利方程

理想流体定常流动过程中，在管道的任一截面处，流体的压力能、动能和势能之和是一个常量，称为伯努利方程

$$\begin{align} &pV+\frac{1}{2}mv^2+mgh=常量\\ &p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=常量 \end{align}$$

理想流体在平面管道内定常流动时，截面积小处流速较大，压强较小

Chapter-4 狭义相对论基础

狭义相对论基本原理

• 物理定律的表达形式在所有惯性系中都相同
• 在所有惯性系中真空中的光速都相等

  洛伦兹变换

若惯性系 $K’$ 相对于 $K$ 系以速度 $u$ 沿 $x$ 轴的正方向作匀速直线运动，若事件在 $k$ 系中为 $(x,y,z,t)$ ，在 $k’$ 系中为 $(x’,y’,z’,t’)$ ，则有变换关系

$$\begin{aligned} &x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\\ &y'=y\\ &z'=z\\ &t'=\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{aligned}$$

爱因斯坦速度变换

物体在 $K$ 系中的速度分量为 $(v_x,v_y,v_z)$ ，在 $K’$ 系中的速度分量为 $(v_x’,v_y’,v_z’)$ ，则

$$\begin{align} &v_x'=\frac{v_x-u}{1-uv_x/c^2}\\ &v_y'=\frac{v_y\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-uv_x/c^2}\\ &v_z'=\frac{v_z\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-uv_x/c^2} \end{align}$$

对洛伦兹变换两边求微分后求微商记得上式

长度收缩与时间膨胀

在相对杆静止的惯性系中，杆的长度最大，等于杆的固有长度 $l_0$ ，在相对杆运动的惯性系中，杆沿运动方向的长度必小于固有长度，记相对运动速度为 $u$ ，有

$$l=l_0\sqrt{1-u^2/c^2}$$

在某惯性系中，两个事件发生在同一地点，则在这个惯性系中测得这两个事件的时间间隔最短，为固有时间 $\Delta t_0$ ，在其他惯性系中，这两个事件发生在不同地点，测得这两个事件的时间间隔大于固有时间，记相对运动速度为 $u$ ，有

$$\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

质量与速度的关系

物体的质量与自身的速度有关，质量与速度的关系为

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

其中 $m_0$ 为静止质量，$m$ 为物体以速度 $v$ 运动时的质量

狭义相对论动力学方程

$$\begin{align} p&=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ F&=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(mv)=\frac{d}{dt}(\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}) \end{align}$$

相对论中的动能

物体的动能等于因运动而增加的质量 $\Delta m=m-m_0$ 与光速二次方的乘积

$$E_k=mc^2-m_0c^2=m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1)$$

能动关系

在狭义相对论中能量与动量的关系为

$$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4=(mc^2)^2$$

Chapter-5 机械振动

简谐振动方程

简谐振动的微分方程及其解的一般形式为（可以通过常微分方程知识求解）

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0\quad\Rightarrow\quad x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

已知简谐振动的初始状态 $x_0=A\cos\varphi,\quad v_0=-\omega A\sin\varphi$ 可以求得

$$A=\sqrt{x_0^2+(\frac{v_0}{\omega})^2}, \quad \varphi=\arctan\frac{-v_0}{\omega x_0}$$

谐振动的能量

设物体的位移为 $x$ ，速度为 $v$ 时，系统的弹性势能与动能分别为

$$\begin{align} &E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi) \quad \omega^2=\frac{k}{m} \\ &E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi)=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi)\\ &E=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2 \end{align}$$

则系统的势能和动能总量守恒，总能量与振幅平方成正比

稳定平衡位置附近的运动

单摆的简谐振动

$$m\frac{d^2x}{dt^2}=m\frac{d^2(l\theta)}{dt^2}=-\frac{mg}{l}(l\theta)=-\frac{mg}{l}x=F_t\quad\Rightarrow\quad\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta$$

则当 $\theta$ 角很小时，单摆的运动可以看作谐振动

复摆的简谐振动

$$-mgl\sin\theta=J\frac{d^2\theta}{dt^2} \quad(\sin\theta\approx\theta) \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{mgl}{J}\theta$$

则复摆的振动角频率为 $\begin{align}\omega=\sqrt{\frac{mgl}{J}}\end{align}$ ，单摆可以视为复摆的特例

阻尼振动

振动系统收到弹性力和阻力两个力的作用，应用牛顿方程，得到

$$\begin{align}m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-b\frac{dx}{dt}\Rightarrow\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0\end{align}$$

应用常微分方程中的特征方程，得到

$$\begin{align}r^2+\frac{b}{m}r+\frac{k}{m}=0\end{align}$$

由于是弱阻尼运动，该方程的解应当反应振幅减弱的情况，则 $\Delta<0$
该方程的复数解为

$$\begin{align} r=\frac{-\frac{b}{m}\pm\sqrt{\frac{b^2}{m^2}-4\frac{k}{m}}}{2} =-\frac{b}{2m}\pm\sqrt{(\frac{b}{2m})^2-\frac{k}{m}} =-\frac{b}{2m}\pm\sqrt{\frac{k}{m}-(\frac{b}{2m})^2}\cdot\mathrm{i} \end{align}$$

根据常微分方程的知识可以得到方程的一个解为

$$\begin{align} Ae^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}-(\frac{b}{2m})^2}\cdot t+\varphi) \end{align}$$

由无阻尼振动中的 $\begin{align}\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\end{align}$ ，令 $\gamma=\frac{b}{2m}$ ，则新的振动方程为

$$\begin{align}Ae^{-\gamma t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\cdot t+\varphi)\end{align}$$

振动能量 $\begin{align}E=E_\theta e^{-2\gamma t}\end{align}$ 振动的能量也随时间作指数衰减

时间常数 $\begin{align}\tau=\frac{1}{2\gamma}=\frac{m}{b}\end{align}$ 表示能量衰减为原来的 $\begin{align}\frac{1}{e}\end{align}$ 的时间

品质因数 $\begin{align}Q=2\pi\frac{1}{2\gamma T}=\frac{\omega}{2\gamma}=\omega\tau\end{align}$ 表示阻尼振动在一个时间常数振动对应的相位变化

受迫振动与共振

假设驱动力按照余弦规律变化，即 $F=F_0\cos(\omega t)$
则物体受弹性力、阻力和驱动力得到牛顿运动方程

$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-b\frac{dx}{dt}+F_0\cos\omega t$$

在稳态等幅受迫振动中，上述方程的解为 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ ，其中

$$\begin{align} &A=\frac{\begin{align}\frac{F_0}{m}\end{align}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}},\quad\varphi=\arctan\frac{-2\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\\ &\omega_0^2=\frac{k}{m},\quad\gamma=\frac{b}{2m} \end{align}$$

当阻尼为 $0$ 时 $\omega_{共振}=\omega_0$ ，当阻尼不为 $0$ 时 $\omega_{共振}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$

振动的合成

同方向同频率谐振动的合成

设物体沿 $x$ 轴同时参与两个独立振动，分别以 $x_1,x_2$ 表示其位移

$$x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1),\quad x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$$

合振动仍然是谐振动，即 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$

$$\begin{align} &A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}\\ &\varphi=\arctan\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} \end{align}$$

同方向不同频率谐振动的合成

设物体沿 $x$ 轴同时参与两个独立振动，简便起见设分振动的初相均为零

合振幅的大小为 $\begin{aligned}A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t}\end{aligned}$

当 $A_1=A_2$ 时，$\begin{align}x=2A_1\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})t\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})t\end{align}$
在 $\omega_2-\omega_1\ll\omega_1+\omega_2$ 的条件下，振幅随时间周期变化
合振动强弱交替变化的现象称为拍，单位时间内振动忽强（或忽弱）的次数称为拍频

$$\begin{align}\nu_{拍}=\frac{\omega_2}{2\pi}-\frac{\omega_1}{2\pi}=\nu_2-\nu_1\end{align}$$

拍频是 $\begin{align}\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})t\end{align}$ 的振动频率的两倍

Chapter-6 机械波

纵波与横波

当机械波在某媒质中进行传播时，媒质中各质点只在平衡位置附近作振动
质点振动方向与波的传播方向垂直的波称为 横波
质点振动方向与波的传播方向平行的波称为 纵波

一维波的一般表达式

假设函数 $f$ 描述波的形状，波的传播速度为 $u$ ，在坐标 $x$ 处的波形可以表示为

$$y(x,0)=f(x),\quad y(x,t)=f(x-ut)$$

平面简谐波的波函数

$$\begin{align} &y(x,t)=A\cos\omega(t-\frac{x}{u})\\ &v=-A\omega\sin\omega(t-\frac{x}{u})\\ \end{align}$$

一维波的波动微分方程

讨论平面简谐波满足的微分方程，令 $\begin{align}y(x,t)=A\cos\omega(t-\frac{x}{u})\end{align}$ ，则有

$$\begin{cases} \begin{align} &\frac{\partial^2y}{\partial x^2}= -(\frac{\omega}{u})^2A\cos\omega(t-\frac{x}{u})\\ &\frac{\partial^2y}{\partial t^2}= -\omega^2A\cos\omega(t-\frac{x}{u}) \end{align} \end{cases} \Rightarrow \frac{\partial^2y}{\partial x^2}= \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$$

假设绳上张力为 $F$ ，绳的线密度为 $\mu$ ，在一小段绳上分析，有

$$\begin{align} \sum F_y &=F(\sin\theta_2-\sin\theta_1)\\ &=F(\tan\theta_2-\tan\theta_1)\\ &=F[(\frac{\partial y}{\partial x})_2-(\frac{\partial y}{\partial x})_1]\\ &\approx F\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\Delta x\\ \end{align}$$ $$\begin{align} &\sum F_y=ma_y \Rightarrow F\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\Delta x =\mu\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\\ &\Rightarrow\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{F}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \end{align}$$

由此可以得到绳上横波的传播速度为 $\begin{align}u=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\end{align}$
在棒中纵波的传播速度为 $\begin{align}u=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}\end{align}$ 其中 $Y$ 为杨氏模量，反应棒的弹性
杨氏模量的定义为 $\begin{align}Y=\frac{(\frac{F}{s})}{\frac{\Delta l}{l_0}}\end{align}$ ，其中 $\begin{align}\frac{F}{s}\end{align}$ 表示应力， $\begin{align}\frac{\Delta l}{l_0}\end{align}$ 表示应变

波的能量

线元在 $y$ 方向的振动速度为 $\begin{align}v=\frac{\partial y}{\partial t}\end{align}$ ，其动能为

$$\Delta E_k=\frac{1}{2}\Delta mv^2=\frac{1}{2}\mu\Delta x(\frac{\partial y}{\partial t})^2$$

线元的伸长量为 $\delta l=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}-\Delta x$ ，在小位移下近似

$$\Delta E_p=F\delta l=F[\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}-\Delta x] \approx F\cdot\frac{1}{2}(\frac{\partial y}{\partial x})^2\Delta x$$

将 $y$ 分别对 $t$ 和 $x$ 求一阶偏导，并代入 $F=\mu u^2$

$$E=\mu A^2\omega^2\sin^2\omega(t-\frac{x}{u})\Delta x$$

线能量密度的平均值为

$$\overline{(\frac{\Delta E}{\Delta x})}=\mu A^2\omega^2\overline{[\sin\omega(t-\frac{x}{u})]^2}=\frac{1}{2}\mu A^2\omega^2$$

如果为三维空间，引入体密度 $\rho$ ，则 $\begin{align}\overline{\omega}=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\end{align}$

能流密度

简谐波所传递的功率为

$$\begin{align} &P=u\mu A^2\omega^2\sin^2\omega(t-\frac{x}{u})\\ &\overline{P}=\frac{1}{2}u\mu A^2\omega^2 \end{align}$$

平均能流密度等于平均能量密度与波速的乘积

$$I=\overline{\omega}u=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u$$

取离波源单位距离处的振幅为 $A_0$ ,则距离波源任一 $r$ 处的振幅为 $\begin{align}A=\frac{A_0}{r}\end{align}$

叠加原理

任一处质点的振动是各个波单独在该点产生的振动的合成

驻波

当两列振幅相等，沿相反方向传播的相干波叠加时将形成驻波，其表达式为

$$\begin{align} &y_1=A\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x)\\ &y_2=A\cos(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x)\\ &y=y_1+y_2=2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cos\omega t \end{align}$$

其中 $x=k\frac{\lambda}{2}$ 处合振幅最大，这些点称为波腹，$x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}$ 处最小，称为波节
在相邻波节之间动能和势能的总和保持不变，为 $\frac{1}{2}\mu A^2\omega^2\lambda$

反射波与入射波叠加的合振动为零，入射波在反射时有 $\pi$ 的突变，称为半波损失

对于两端固定的绳子，只有特定频率的驻波可以存在，即 $\begin{align}\lambda_n=\frac{4L}{n},n=2,4,6,\cdots\end{align}$
对于一端可自由移动的绳子，同理，有 $\begin{align}\lambda_n=\frac{4L}{n},n=1,3,5,\cdots\end{align}$

多普勒效应

（1）波源相对媒质静止，观察者以 $v_R$ 向波源运动

若波长为 $\lambda$ ，波速为 $u$ ，相当于波以速度 $u+v_R$ 向观察者移动
则观察者接收到的波的频率为

$$\nu_R=\frac{u+v_R}{\lambda}=(\frac{u+v_R}{u})\nu_s$$

（2）观察者相对媒质静止，波源以 $v_s$ 向观察者运动

波源的运动导致波的波长发生变化，可推导出以下关系

$$\begin{align} \lambda'&=\lambda-v_sT_s=(u-v_s)T_s\\ \nu_R&=\frac{u}{\lambda'}=\frac{u}{(u-v_s)T_s}=\frac{u}{u-v_s}\nu_s \end{align}$$

（3）波源和观察者在同一直线上同时运动

综合上述两种情况，可以得到

$$\nu_R=\frac{u+v_R}{u-v_s}\nu_s$$

（4）光波的多普勒效应

光源与接收器的相对运动速度为 $u$ ，在同一条直线上接收器收到的频率为

$$\nu_R=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}\nu_s$$

Chapter-7 气体动理论

热力学系统

孤立系统 系统与外界既无物质交换，也无能量交换
封闭系统 系统与外界无物质交换，但有能量交换
开放系统 系统与外界既有物质交换，又有能量交换

平衡态

若封闭系统与外界没有能量交换，系统内部也不发生化学反应或核反应等过程，则经过足够长时间后系统可观测的宏观性质达到稳定，不再随时间而变化，系统这种状态称为平衡态

当系统与外界交换能量时，系统原来的平衡态就被破坏，能量交换后经过足够时间，系统又达到一个新的平衡态，系统的状态随时间的变化，叫作 热力学过程

气体动理论的基本假设

分子及其运动假设

• 气体由大量分子组成
• 每个分子都在不停地作无规则运动，并相互频繁碰撞

统计假设

• 气体处于平衡态时，分子的空间分布均匀
• 气体处于平衡态时，分子沿各个方向运动的概率相等

理想气体的微观假设

• 理想气体分子本身的体积忽略不计，可视为弹性质点
• 分子与分子之间，分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞
• 除碰撞外，分子之间的相互作用力可以忽略
  只有压强较低，温度较高的气体才遵守该微观假设

理想气体的压强公式

设理想气体由质量为 $\mu$ 的分子组成，处于平衡态，单位体积中的总分子数为 $n$ ，则

$$p=\frac{1}{3}n\mu\bar{v^2}=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon_t}$$

$\begin{aligned}\bar{v^2}=\frac{\begin{aligned}\sum_in_iv_i^2\end{aligned}}{n}\end{aligned}$ 为气体分子速率二次方的统计平均值
$\begin{aligned}\bar{\epsilon_t}=\frac{\begin{aligned}\sum_in_i(\frac{1}{2}\mu v_i^2)\end{aligned}}{n}=\frac{\mu\bar{v^2}}{2}\end{aligned}$ 为平均每一个气体分子所具有的平动动能（平均平动动能）
注: 此处的 $n$ 量纲为 $m^{-3}$ ，因此该压强公式的量纲是正确的

温度与分子平均平动动能

系统的温度 $T$ 与分子平均平动动能 $\bar{\epsilon_t}$ 之间存在单值函数关系，两者关系为

$$\bar{\epsilon_t}=\frac{3}{2}kT,\quad k=1.38\times10^{-23}\mathrm{J/K}$$

说明系统的温度越高，分子的平均平动动能越大，温度是分子平均平动动能的度量
注: 系统整体运动的动能对温度是无影响的

气体分子的方均根速率

气体分子速率二次方统计平均值 $\bar{v^2}$ 的二次方根 $\sqrt{\bar{v^2}}$ 称为气体分子的方均根速率

$$\begin{cases} \begin{aligned} &\bar{\epsilon_t}=\frac{1}{2}\mu\bar{v^2}\\ &\bar{\epsilon_t}=\frac{3}{2}kT \end{aligned} \end{cases} \Rightarrow \sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}$$

若以 $N_A$ 表示阿伏伽德罗常数，则有

$$\begin{align} R&=N_Ak=(6.02\times10^{23}\times1.38\times10^{-23})\mathrm{J/(mol\cdot K)}\\ &=8.31\mathrm{J/(mol\cdot K)} \end{align}$$

$R$ 称为摩尔气体常量，若以 $M$ 表示气体的摩尔质量，则公式可表示为

$$\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

理想气体状态方程

将温度与分子平均平动动能的关系 $\begin{aligned}\bar{\epsilon_t}=\frac{3}{2}kT\end{aligned}$ 代入理想气体压强公式得到

$$p=nkT$$

由于 $\begin{aligned}n=\frac{N}{V},R=N_Ak\end{aligned}$ ，则上式还可以表示为

$$pV=\nu RT$$

其中 $\nu$ 表示理想气体的物质的量

自由度

确定物体的空间位置所必需的独立坐标数目称为该物体的自由度
包含平动自由度、转动自由度、振动自由度等

能量均分原理

$$\bar{\epsilon_t} =\frac{1}{2}\mu\bar{v^2} =\frac{1}{2}\mu\bar{v_x^2} +\frac{1}{2}\mu\bar{v_y^2} +\frac{1}{2}\mu\bar{v_z^2} =\frac{3}{2}kT$$ $$\bar{v_x^2}=\bar{v_y^2}=\bar{v_z^2}$$ $$\frac{1}{2}\mu\bar{v_x^2} =\frac{1}{2}\mu\bar{v_y^2} =\frac{1}{2}\mu\bar{v_z^2} =\frac{1}{2}kT$$

在平衡态下分子每个自由度的平均能量都相等，称为能量均分原理
液体和固体的温度较高时能量均分原理也适用

平均每一个分子所具有的平动、转动和振动能量的总和称为气体分子的平均能量，用符号 $\bar{\epsilon}$ 表示，根据能量均分原理，若分子的自由度为 $i$ ，则分子的平均能量为

$$\bar{\epsilon}=\frac{i}{2}kT$$

注: 热力学自由度中一个振动包含振动动能和振动势能两个自由度

理想气体的内能

与气体内部分子无序运动相联系的能量称为系统的内能（热力学能）

物质的量为 $\nu$ 的理想气体的内能为

$$E=\nu N_A(\frac{i}{2}kT)=\nu\frac{i}{2}RT$$

当理想气体的量一定时，其内能仅决定于气体的温度

速率分布函数

气体分子的速率分布函数为

$$f(v)=\frac{dN}{Ndv},\quad \int_0^\infty f(v)dv=1$$

速率分布函数 $f(v)$ 表示速率在 $v$ 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率

（1）最概然速率

速率分布函数 $f(v)$ 的极大值对应的速率

$$\begin{align}\frac{df(v)}{dv}\Big{|}_{v_p}=0\end{align}$$

（2）平均速率

大量分子速率的算术平均值，称为气体分子的平均速率

$$\overline{v}=\frac{\begin{align}\int vdN\end{align}}{N}=\int_0^\infty vf(v)dv$$

（3）方均根速率

分子速率二次方统计平均值的二次方根

$$\overline{v^2}=\sqrt{\int_0^\infty v^2f(v)dv}$$

麦克斯韦速率分布律

理想气体处于平衡态时，速率在 $v$ 和 $v+dv$ 区间的分子数占总分子数的比率为

$$\begin{align} &\frac{dN}{N}=4\pi(\frac{\mu}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{\mu v^2}{2kT}}v^2\\ &f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{v^2}{v_p^2}}(\frac{v^2}{v_p^3}) \end{align}$$ $$\begin{align} 最概然速率:v_p=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\\ 平均速率:\overline{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\\ 方均根速率:\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\\ v_p:\overline{v}:\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{2}:\frac{8}{\pi}:\sqrt{3} \end{align}$$

等温气压公式

对于理想气体，有

$$\begin{cases} dp=-\rho gdh\\ \begin{align} \rho=\frac{pM}{RT} \end{align} \end{cases} \Rightarrow \frac{dp}{p}=-\frac{Mg}{RT}dh \Rightarrow p=p_0e^{-\frac{Mgh}{RT}}$$

气体分子数密度按高度的分布

$$n=\frac{p_0}{kT}e^{-\frac{Mgh}{RT}} =n_0e^{-\frac{\mu gh}{kT}} =n_0e^{-\frac{\epsilon_p}{kT}}$$

玻尔兹曼分布律

$$dN_{v,r}=n_0(\frac{\mu}{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac{\epsilon}{kT}} \cdot dv_x \cdot dv_y \cdot dv_z \cdot dx \cdot dy \cdot dz$$

式中 $\epsilon=\epsilon_p+\epsilon_k$ ，即分子的平动动能和外力场的势能之和
$n_0$ 表示势能 $\epsilon_p=0$ 处的分子数密度

平均碰撞频率

单位时间内一个分子与其他分子碰撞次数的统计平均值称为分子的平均碰撞频率

$$\overline{Z}=\sqrt{2}\pi d^2n\overline{v}$$

其中 $d$ 为气体分子的有效直径，$n$ 为气体分子的数密度

平均自由程

$$\overline{\lambda}=\frac{\overline{v}}{\overline{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}$$

热传导现象

假设气体温度仅与坐标 $z$ 有关， $dQ$ 表示 $dt$ 内沿 $z$ 轴正方向通过 $dS$ 传递的热量， $\begin{align}\frac{dT}{dz}\end{align}$ 表示 $dS$ 处温度的梯度，则有热传导定律

$$\begin{align} dQ&=-\kappa\frac{dT}{dz}dSdt\\ \kappa&=\frac{1}{6}ikn\overline{v}\overline{\lambda}\\ \kappa&=\frac{ik}{3\pi d^2}\sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} \end{align}$$

$\kappa$ 与气体分子的自由度 $i$ 、分子数密度 $n$ 、分子的平均速率 $\overline{v}$ 和平均自由程 $\overline{\lambda}$ 成正比
热传导是分子热运动能量的迁移过程

黏滞现象

气体各部分流速不同时，各部分气体相互作用使流速趋于一致，这一现象称为粘滞现象

$$f=-\eta\frac{du}{dz}dS$$

式中 $\eta$ 表示气体的黏度，上述定理称为黏滞定律

$$dP=-\eta\frac{du}{dz}dSdt$$

黏滞现象是气体内部分子定向动量迁移的结果

$$\eta=\frac{1}{3}n\mu\overline{v}\overline{\lambda} =\frac{1}{3}\rho\overline{v}\overline{\lambda}$$

扩散现象

考虑纯扩散过程，两种气体的分子量、温度、压强均相等

$$dm=-D\frac{d\rho}{dz}dSdt$$

式中 $D$ 表示气体的扩散率，上述定理称为扩散定律

$$D=\frac{1}{3}\overline{v}\overline{\lambda}$$ $$D=\frac{2}{3\sqrt{\mu}pd^2}(\frac{kT}{\pi})^{3/2}$$

扩散是分子质量的迁移过程

范德瓦尔斯方程

$$\frac{pV}{\nu RT}=\zeta\neq1$$

其中 $\zeta$ 称为压缩因子，与气体的性质、压强和温度有关

范德瓦尔斯理想气体与理想气体的差别主要为以下两点：

• 实际气体分子本身的体积不能忽略
• 实际气体分子之间的相互作用力不能忽略

（1）体积的修正

一个分子的不可压缩体积相当于分子自身体积的 $4$ 倍，$1\mathrm{mol}$ 分子的不可压缩体积为

$$\begin{align} &b=N_A\{4[\frac{4}{3}\pi(\frac{d}{2})^3\}=\frac{2}{3}N_A\pi d^3\\ &修正后的体积=V-\nu b \end{align}$$

（2）压强的修正

$$\begin{align} &p_i\varpropto器壁附近受力的分子数密度\varpropto\frac{\nu}{V}\\ &p_i\varpropto对器壁附近分子施力的其他分子数密度\frac{\nu}{V}\\ &p_i=a(\frac{\nu}{V})^2\\ &修正后的压强=(p+p_i)=[p+a(\frac{\nu}{V})^2] \end{align}$$

将修正后的压强、体积代入理想气体状态方程，得到范德瓦尔斯方程

$$\begin{bmatrix} \begin{align} p+a(\frac{\nu}{V})^2 \end{align} \end{bmatrix} (V-\nu b)=\nu RT$$

当气体压强很低时 $\begin{align}V\gg \nu b,p\gg a(\frac{\nu}{V})^2\end{align}$ ，范德瓦尔斯方程退化为理想气体方程

临界温度 $T_K$ 无论怎样恒温加压也不能使气体液化
临界等温线 临界温度对应的等温线
临界点 临界等温线上的拐点 $K$
临界压强 $p_K$ 临界点对应的压强
临界摩尔体积 $V_K$ 临界点对应的摩尔体积

实际气体的内能

实际气体的内能应等于所有分子热运动能量之和与相互作用力势能之和

$$\begin{align} &\Delta E_k=\nu C_{V,m}(T_2-T_1)\\ &\Delta E_p=\int_{V_1}^{V_2}p_idV=\int_{V_1}^{V_2}a(\frac{\nu}{V})^2dV=\nu^2a(\frac{1}{V_1}-\frac{1}{V_2})\\ &\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=Q+A \end{align}$$

Chapter-8 热力学基础

准静态过程

系统状态随时间的变化，称为热力学过程
从平衡态被某一干扰破坏到建立新的平衡态所需的时间称为弛豫时间
假设干扰非常微小，任意时刻系统偏离平衡态都非常微小，极限情形下，过程任意时刻系统都无限接近平衡态，这样的过程称为准静态过程
准静态过程还分为等温、绝热、等压、等体等准静态过程

热力学第一定律

若系统的初始内能为 $E_1$ ，从外界吸收的热量 $Q$ ，外界对系统所做的功 $A$ ，变到内能 $E_2$ 的终态，则根据能量守恒定律

$$\Delta E=E_2-E_1=Q+A$$

在微小的变化过程中，热力学第一定律还可以表示为

$$dE=dQ+dA$$

理想气体的等体过程

等体过程中气体对外界不做功，内能变化与热量交换相等

$$\begin{align} &Q_V=\Delta E=\nu\frac{i}{2}R\Delta T=\nu\frac{i}{2}R(T_b-T_a)\\ &C_{V,m}=\frac{dQ_V}{\nu dT}=\frac{i}{2}R\\ &Q_V=\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T \end{align}$$

理想气体的等压过程

等压过程中气体对外做功

$$(-A)=\int_{V_a}^{V_b}pdV=p(V_b-V_a)=p\Delta V=\nu R\Delta T$$

根据热力学第一定律，有

$$\begin{align} &Q_p=\Delta E-A=\nu(C_{V,m}+R)\Delta T\\ &C_{p,m}=C_{V,m}+R\\ &Q_p=\nu C_{p,m}\Delta T\\ &\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=1+\frac{2}{i} \end{align}$$

理想气体的等温过程

等温过程中理想气体吸收的热量全部转变为对外做功

$$Q_T=(-A)=\int_{V_a}^{V_b}pdV=\int_{V_a}^{V_b}\frac{\nu RT}{V}dV=\nu RT\ln\frac{V_b}{V_a}$$

理想气体的绝热过程

在理想气体的绝热准静态过程中 $p,V,T$ 之间的关系为

$$\begin{align} pV^{\gamma}&=常量\\ V^{\gamma-1}T&=常量\\ P^{\gamma-1}T^{-\gamma}&=常量 \end{align}$$

多方方程

如果理想气体的过程方程为

$$pV^n=常量$$

那么这个过程称为多方过程，$n$ 称为多方指数

$$\begin{align} (-A)&=\int_{V_a}^{V_b}pdV=\int_{V_a}^{V_b}\frac{p_aV_a^n}{V^n}dV\\ &=\frac{p_bV_b-p_aV_a}{1-n}=\frac{\Delta(pV)}{1-n} \end{align}$$ $$C_m=\frac{n-\gamma}{n-1}C_{V,m}=\frac{(n-\gamma)R}{(n-1)(\gamma-1)}$$

循环过程

系统由初态出发，经过一系列状态变化回到初态的过程称为循环过程
在 $p-V$ 图像中准静态循环过程是一条闭合曲线，沿顺时针方向进行称为正循环

热机指利用工作物质的正循环把系统吸收的热量不断转变为对外做功的机器

$$\eta=\frac{-A}{Q_{吸}}=\frac{Q_{吸}-Q_{放}}{Q_{吸}}$$

致冷机是外界对工作物质做功，利用逆循环低温向高温传递热量的机器

$$e=\frac{Q_{吸}}{A}=\frac{Q_{吸}}{Q_{放}-Q_{吸}}$$

卡诺循环

卡诺机只与温度为 $T_1$ 的高温热源和温度为 $T_2$ 的低温热源交换热量，整个循环由两个等温准静态过程和两个绝热准静态过程组成，称为卡诺循环

$$\eta_C=\frac{-A}{Q_{吸}}=\frac{Q_{吸}-Q_{放}}{Q_{吸}}=\frac{T_1-T_2}{T_1}$$ $$e_c=\frac{Q_吸}{A}=\frac{Q_吸}{Q_放-Q_吸}=\frac{T_2}{T_1-T_2}$$

热力学第二定律

开尔文表述
不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为功，而不产生其它变化

克劳修斯表述
热量不可能从低温物体传向高温物体，而不产生其它变化

可逆过程与不可逆过程

可逆过程
如果一个过程可以逆向进行，系统和外界都回到原来的状态，而不发生其他任何变化

不可逆过程
如果经历一个过程后，任何方法均不能使系统和外界都完全复原

卡诺定理

在两个温度一定的热源之间，一切卡诺循环的效率都相等，与工作物质无关
在两个温度一定的热源之间，一切不可逆循环的效率必小于卡诺循环的效率

提高热机效率的方向：提高高温热源温度、降低低温热源温度、尽可能接近可逆循环

熵

对于任意可逆循环可以分解为许多小卡诺循环，对于每个小卡诺循环，有：

$$\frac{dQ_1}{T_1}+\frac{dQ_2}{T_2}=0,\quad \frac{dQ_3}{T_3}+\frac{dQ_4}{T_4}=0,\quad \cdots$$

将各式相加得到

$$\sum\frac{dQ_i}{T_i}=0,\quad\oint\frac{dQ}{T}=0(可逆循环)$$

定义熵为

$$dS=\frac{dQ}{T}(可逆过程)\quad\Delta S=S_b-S_a=\int_a^b\frac{dQ}{T}(任意可逆过程)$$

理想气体的熵变

绝热可逆过程 $\begin{align}\Delta S=\int_a^b\frac{dQ}{T}=0\end{align}$

等体可逆过程 $\begin{align}\Delta S=\int_{T_a}^{T_b}\frac{\nu C_{V,m}dT}{T}=\nu C_{V,m}\ln\frac{T_b}{T_a}\end{align}$

等压可逆过程 $\begin{align}\Delta S=\int_{T_a}^{T_b}\frac{\nu C_{p,m}dT}{T}=\nu C_{p,m}\ln\frac{T_b}{T_a}\end{align}$

等温可逆过程 $\begin{align}\Delta S=\int_a^b\frac{dQ_t}{T}=\nu R\ln\frac{V_b}{V_a}\end{align}$

可逆相变化 $\begin{align}\Delta S=\frac{Q}{T}\end{align}$ 其中 $Q$ 为相平衡状态下的相变热

熵增原理

孤立系统的自发过程总是向着熵增大的方向进行，当熵达到最大时孤立系统达到平衡态

$$\Delta S\geq 0\quad(孤立系统)$$

熵增原理是热力学第二定律的另一种表述

孤立系统内，一切自发过程总是朝分子运动无序性增强，微观态数目增多，出现概率大的宏观态方向进行

玻尔兹曼熵公式

$S$ 为系统处于某宏观状态下的熵，$\omega$ 为宏观态的热力学概率，$k$ 为玻尔兹曼常量

$$S=k\ln\omega$$

为玻尔兹曼熵公式，熵是无序性的量度