大学物理乙II

Chapter-13 导体和电介质

导体静电平衡

导体的 静电平衡 必须满足以下条件：
（1）导体 内部电场 处处为零，导体内部电势为 常量，导体为 等势体，表面为 等势面
（2）导体表面上每一处的电场强度处处与表面 垂直

导体的电荷分布

空心导体 上 净电荷 的分布完全与实心导体一样，净电荷只能分布在 外表面 上
导体表面上电荷密度 $\sigma$ 的分布与 表面附近 电场强度 $E$ 满足关系：

$$\begin{align} \oint_S E\cdot\mathrm{d}S&=E\Delta S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sigma\Delta S\\ \Rightarrow E&=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \end{align}$$

在 没有外电场 的情况下，电荷分布与导体表面的 曲率 有关：
（1）导体突出的地方曲率较大，电荷面密度较大，该处电场强度较大
（2）导体凹陷的地方曲率为负，电荷面密度较小，此处电场强度较小
导体空腔 屏蔽 外电场，接地导体空腔 使内外电场 互不影响，相互独立

电容器

（1）孤立导体 的电容 （导体周围没有其他 导体 和 带电体 ）

$$C=\frac{q}{V}$$

（2）平行板 电容器（极板面积线度 远大于 两板间距）

$$C=\frac{q}{\Delta V}=\frac{q}{Ed}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

（3）同心球形 电容器（内外半径分别记为 $R_\mathrm{A}$ 和 $R_\mathrm{B}$ ）

$$\begin{align} \Delta V&=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}E\cdot\mathrm{d}l =\int_{R_\mathrm{A}}^{R_\mathrm{B}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\mathrm{d}r =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R_\mathrm{B}-R_\mathrm{A}}{R_\mathrm{A}R_\mathrm{B}} \\ C&=\frac{q}{\Delta V} =4\pi\varepsilon_0\frac{R_\mathrm{A}R_\mathrm{B}}{R_\mathrm{B}-R_\mathrm{A}} \end{align}$$

（4）同轴圆柱形 电容器（内外径分别记为 $R_\mathrm{A}$ 和 $R_\mathrm{B}$ ，长度为 $l$）

$$C=\frac{2\pi\varepsilon_0l}{\ln\frac{R_\mathrm{B}}{R_\mathrm{A}}}$$

电容器的原理： 其他导体 产生的感应电荷使该导体电势 绝对值减小
极限电压 指可以加于电容器两极板之间而不致其被击穿的 最高电压
电容器的 带电量 指的是 一块极板 上带电量的绝对值

电容器的串并联

电容器 串联 时，总电容的 倒数 等于各个电容器电容的倒数之和

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots+\frac{1}{C_N}$$

电容器 并联 时，总电容等于各个电容器电容之和

$$C=C_1+C_2+\cdots C_N$$

电介质

电介质 指不导电的物质，电荷被束缚在 原子范围内 不能 宏观移动 ，被称为 束缚电荷
无极电介质 指没有外电场是正负电荷重心重合，不具有 固有电偶极矩的电介质
有极电介质 指正负电荷重心错开，具有 固有电偶极矩的电介质，合电偶极矩 仍为 零

电介质的极化

在 外电场 作用下，无极分子 中的正负电荷拉开距离，形成与外电场 方向相同 的电偶极矩，这种由外电场产生的电偶极矩称为 感生电偶极矩 （电偶极矩的方向为负指向正）

对于均匀电介质 内部 仍然显 中性，但在电介质和外电场垂直的两个表面会出现正负 束缚电荷，这种现象称为 电介质极化，无极分子的极化称为 电子位移极化

外电场对 有极分子 的作用可以归结为电偶极矩转到外电场方向，对分子电偶极矩的数值 无影响，外电场越强，排列约整齐，束缚电荷越多，极化程度越高，称为 转向极化

采用 单位体积 内的电偶极矩 矢量和 来表征电介质极化的程度，单位为 $\mathrm{C/m^2}$

$$P=\frac{\sum p_{分子}}{\Delta V}$$

束缚电荷密度

电介质极化时产生的束缚电荷 面密度 等于 电极化强度 沿相应表面外法线方向的分量

$$\Delta S\sigma l=Pd\Delta S\quad\Rightarrow\quad\sigma=P\cos\theta=P_n$$

电极化强度通过闭合曲面的 通量 等于该闭合曲面包围的体积内 净余束缚电荷 的负值

$$\oint_S P\cdot\mathrm{d}S=-\sum_{S内}q'=-\int_V\rho\space\mathrm{d}V$$

束缚电荷产生的电场

电介质中的场应是外电荷产生的场 $E_0$ 和束缚电荷产生的场 $E’$ 的 矢量和

$$E=E_0+E'<E_0$$

对于任意类型的 各向同性 电介质，同一点处的极化强度和电场强度有如下关系

$$P=\chi_\mathrm{e}\varepsilon_0E$$

其中 $\chi_\mathrm{e}$ 称为电介质的极化率，仅与 电介质的种类 有关，该式只在不太强的电场中正确

电位移

高斯定理 在有电介质存在时可以写作

$$\oint_S E\cdot\mathrm{d}S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{S内}(q_0+q')$$

其中 $q_0$ 为高斯面内的 自由电荷，$q’$ 为高斯面内的 束缚电荷
由 束缚电荷的体密度 公式化简可得

$$\oint_S(\varepsilon_0E+P)\cdot\mathrm{d}S=\sum_{S内}q_0$$

定义 电位移 为 $D=\varepsilon_0E+P$ ，则电介质中的高斯公式可以写作

$$\oint_SD\cdot\mathrm{d}S=\sum_{S内}q_0$$

由 $D=\varepsilon_0E+P=\varepsilon_0E+\chi_\mathrm{e}\varepsilon_0E=(1+\chi_\mathrm{e})\varepsilon_0E$ ，定义

$$\varepsilon_{\mathrm{r}}=1+\chi_\mathrm{e}$$

为电介质的 相对介电常量 ，或简称 介电常量 ，则 $D=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}E$

电介质作用

充满电介质后，电容器的电容 增大 到无电容器时的 $\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 倍
多数电介质材料的 击穿电场强度 大于空气，可以提高电容器的 耐压能力

平行板电容器中放入 未充满 的平行于极板的 均匀电介质 时：
空气和电介质中的 电位移 处处相等，为 $D=\sigma_0$
注：电位移可以认为是一个观测量，是电容器当前状态的物理属性，束缚电荷表现在极板侧
电介质中的 电场强度 是空气中电场强度的 $\begin{align}\frac{1}{\varepsilon_\mathrm{r}}\end{align}$ ，即 $\begin{align}E=\frac{E_0}{\varepsilon_\mathrm{r}}\end{align}$

电场的能量

电场中单位体积的能量称为 电场能量密度 $\begin{align}u_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}E^2\end{align}$