大学物理乙II

Ch-13 导体和电介质

导体静电平衡

导体的 静电平衡 必须满足以下条件：
（1）导体 内部电场 处处为零，导体内部电势为 常量，导体为 等势体，表面为 等势面
（2）导体表面上每一处的电场强度处处与表面 垂直

导体的电荷分布

空心导体 上 净电荷 的分布完全与实心导体一样，净电荷只能分布在 外表面 上
导体表面上电荷密度 $\sigma$ 的分布与 表面附近 电场强度 $E$ 满足关系：

$$\begin{align} \oint_S E\cdot\mathrm{d}S&=E\Delta S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sigma\Delta S\\ \Rightarrow E&=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \end{align}$$

在 没有外电场 的情况下，电荷分布与导体表面的 曲率 有关：
（1）导体突出的地方曲率较大，电荷面密度较大，该处电场强度较大
（2）导体凹陷的地方曲率为负，电荷面密度较小，此处电场强度较小
导体空腔 屏蔽 外电场，接地导体空腔 使内外电场 互不影响，相互独立

电容器

（1）孤立导体 的电容 （导体周围没有其他 导体 和 带电体 ）

$$C=\frac{q}{V}$$

（2）平行板 电容器（极板面积线度 远大于 两板间距）

$$C=\frac{q}{\Delta V}=\frac{q}{Ed}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

（3）同心球形 电容器（内外半径分别记为 $R_\mathrm{A}$ 和 $R_\mathrm{B}$ ）

$$\begin{align} \Delta V&=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}E\cdot\mathrm{d}l =\int_{R_\mathrm{A}}^{R_\mathrm{B}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\mathrm{d}r =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R_\mathrm{B}-R_\mathrm{A}}{R_\mathrm{A}R_\mathrm{B}} \\ C&=\frac{q}{\Delta V} =4\pi\varepsilon_0\frac{R_\mathrm{A}R_\mathrm{B}}{R_\mathrm{B}-R_\mathrm{A}} \end{align}$$

（4）同轴圆柱形 电容器（内外径分别记为 $R_\mathrm{A}$ 和 $R_\mathrm{B}$ ，长度为 $l$）

$$C=\frac{2\pi\varepsilon_0l}{\ln\frac{R_\mathrm{B}}{R_\mathrm{A}}}$$

电容器的原理： 其他导体 产生的感应电荷使该导体电势 绝对值减小
极限电压 指可以加于电容器两极板之间而不致其被击穿的 最高电压
电容器的 带电量 指的是 一块极板 上带电量的绝对值

电容器的串并联

电容器 串联 时，总电容的 倒数 等于各个电容器电容的倒数之和

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots+\frac{1}{C_N}$$

电容器 并联 时，总电容等于各个电容器电容之和

$$C=C_1+C_2+\cdots C_N$$

电介质

电介质 指不导电的物质，电荷被束缚在 原子范围内 不能 宏观移动 ，被称为 束缚电荷
无极电介质 指没有外电场是正负电荷重心重合，不具有 固有电偶极矩的电介质
有极电介质 指正负电荷重心错开，具有 固有电偶极矩的电介质，合电偶极矩 仍为 零

电介质的极化

在 外电场 作用下，无极分子 中的正负电荷拉开距离，形成与外电场 方向相同 的电偶极矩，这种由外电场产生的电偶极矩称为 感生电偶极矩 （电偶极矩的方向为负指向正）

对于均匀电介质 内部 仍然显 中性，但在电介质和外电场垂直的两个表面会出现正负 束缚电荷，这种现象称为 电介质极化，无极分子的极化称为 电子位移极化

外电场对 有极分子 的作用可以归结为电偶极矩转到外电场方向，对分子电偶极矩的数值 无影响，外电场越强，排列约整齐，束缚电荷越多，极化程度越高，称为 转向极化

采用 单位体积 内的电偶极矩 矢量和 来表征电介质极化的程度，单位为 $\mathrm{C/m^2}$

$$P=\frac{\sum p_{分子}}{\Delta V}$$

束缚电荷密度

电介质极化时产生的束缚电荷 面密度 等于 电极化强度 沿相应表面外法线方向的分量

$$\Delta S\sigma l=Pd\Delta S\quad\Rightarrow\quad\sigma=P\cos\theta=P_n$$

电极化强度通过闭合曲面的 通量 等于该闭合曲面包围的体积内 净余束缚电荷 的负值

$$\oint_S P\cdot\mathrm{d}S=-\sum_{S内}q'=-\int_V\rho\space\mathrm{d}V$$

注：之所有后式有负值，是因为第一式的 $\sigma$ 定义为 面密度的绝对值

束缚电荷产生的电场

电介质中的场应是外电荷产生的场 $E_0$ 和束缚电荷产生的场 $E’$ 的 矢量和

$$E=E_0+E'<E_0$$

对于任意类型的 各向同性 电介质，同一点处的极化强度和电场强度有如下关系

$$P=\chi_\mathrm{e}\varepsilon_0E$$

其中 $\chi_\mathrm{e}$ 称为电介质的 极化率，仅与 电介质的种类 有关，该式只在不太强的电场中正确

电位移

高斯定理 在有电介质存在时可以写作

$$\oint_S E\cdot\mathrm{d}S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{S内}(q_0+q')$$

其中 $q_0$ 为高斯面内的 自由电荷，$q’$ 为高斯面内的 束缚电荷
由 束缚电荷的体密度 公式化简可得

$$\oint_S(\varepsilon_0E+P)\cdot\mathrm{d}S=\sum_{S内}q_0$$

定义 电位移 为 $D=\varepsilon_0E+P$ ，则 电介质中的高斯定理 可以写作

$$\oint_SD\cdot\mathrm{d}S=\sum_{S内}q_0$$

由 $D=\varepsilon_0E+P=\varepsilon_0E+\chi_\mathrm{e}\varepsilon_0E=(1+\chi_\mathrm{e})\varepsilon_0E$ ，定义

$$\varepsilon_{\mathrm{r}}=1+\chi_\mathrm{e}$$

为电介质的 相对介电常量 ，或简称 介电常量 ，则 $D=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}E$

注：电位移可以认为是一个观测量，是电容器当前状态的物理属性，束缚电荷表现在极板侧

电介质作用

充满电介质后，电容器的电容 增大 到无电容器时的 $\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 倍
多数电介质材料的 击穿电场强度 大于空气，可以提高电容器的 耐压能力

平行板电容器中放入 未充满 的平行于极板的 均匀电介质 时：
空气和电介质中的 电位移 处处相等，为 $D=\sigma_0$
电介质中的 电场强度 是空气中电场强度的 $\begin{align}\frac{1}{\varepsilon_\mathrm{r}}\end{align}$ ，即 $\begin{align}E=\frac{E_0}{\varepsilon_\mathrm{r}}\end{align}$

电场的能量

电场中单位体积的能量称为 电场能量密度 $\begin{align}u_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}E^2\end{align}$
对于非均匀连续变化的电场，电场的能量为

$$U_e=\int_V u_e\mathrm{d}V=\int_V\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_rE^2\mathrm{d}V$$

Ch-14 电流和磁场

电流

电流的形成必须满足两个条件：
（1）介质内存在 载流子 （2）介质内部存在 电场

载流子在电场中除了无规则热运动还进行定向运动，称为 漂移速度 （$10^{-3}\text{m/s}$）

电流强度 定义为 单位时间 内通过某一 截面 内的 电荷量
电流密度 定义为通过垂直于某点电流方向的 单位截面 上的电流

$$j=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\bot}},\quad I=\int_Sj\cdot\mathrm{d}S$$

稳恒电流 导体中各点电流密度矢量不随时间变化
电流连续方程 导体内取闭合曲面 $S$ ，$\mathrm{d}t$ 时间从 $S$ 中流出的电量等于 $S$ 面内电量的减少量

$$\oint j\cdot\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$

若上式等于 $0$ ，则为稳恒电流条件

稳恒电场 在稳恒电流中电荷的分布、电场不随时间变化，高斯定理、环路定理仍然适用
静电场 在静电平衡时导体中 $E=0$ ，导体为 等势体，无电流
稳恒电场 导体中 $E\neq 0$ ，但是 $\begin{align}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=0\end{align}$

电动势

把 单位正电荷 从负极通过电源内部移到正极时，非静电力 所做的功定义为电源的 电动势 ，若在电源内部电荷 $q$ 从负极移到正极，非静电力做的功为 $W$ ，则

$$\mathscr{E}=\frac{W}{q}$$

电动势是 标量 ，常规定自负极经电源到正极方向为电动势的方向

电源内部的非静电力可以等效视为一种非静电性电场强度的作用

$$F_\text{K}=qE_\mathrm{K}$$

与电势差有关的是静电力做功，而与电源有关的是非静电力 $F_\mathrm{K}=qE_\mathrm{K}$ 做功
静电场是 保守力场，而 $E_\mathrm{K}$ 是 非保守力场

磁力

磁现象的电本质，即 运动的电荷产生磁场
两根 平行载流导线 的电流值分别为 $I_1,I_2$ ，两者距离为 $b$ ，则 磁力 大小为

$$F_\text{m}=k\frac{I_1I_2}{b}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi b}$$

其中 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{N/A}^2$ 称为 磁学常量 或 真空磁导率

磁场

对于磁场中每一点，试探电荷 $q$ 的运动速度 $v$ 垂直 于 $B$ 的方向时，受到的磁力最大

$$B=\frac{F_\text{m,max}}{qv}$$

磁感应强度 $B$ 的单位为特斯拉，用符号 $T$ 表示，磁场同样服从 叠加原理
在磁场中，磁感线 都是环绕电流的 闭合曲线，因此磁场是 涡旋场

毕奥-萨伐尔定律

载流导线 中任意电流元 $I\mathrm{d}l$ 在空间任意点 $P$ 处的磁感应强度 $\mathrm{d}B$ 为

$$\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times e_r}{r^2} =\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\sin\theta}{r^2}$$

其中 $e_r$ 是电流元到场点 $P$ 的矢径 $r$ 的 单位矢量
任意形状的载流导线所产生的磁感应强度可以积分求得

$$B=\oint\mathrm{d}B=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times e_r}{r^2}$$