复变函数与积分变换

Chapter-1 预备知识

复球面与无穷远点

与一元函数微积分中数轴附加的 $-\infty$ 与 $+\infty$ 不同，扩充复平面上的 $\infty$ 点只有一点

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Chapter-2 解析函数

复变函数的定义

设 $D$ 是复变数 $z$ 的一个集合，对于 $D$ 中的每一个 $z$ ，按照一定的规律，有一个或多个复数 $w$ 的值与之对应，则称 $w$ 为定义在 $D$ 上的复变函数，记作

$$w=f(z),(z\in D) \quad \begin{cases} z=x+iy\\ w=u(x,y)+iv(x,y) \end{cases}$$

若对每一个 $z\in D$ 有且仅有一个 $w\in G$ 与之对应，则称 $w=f(z)(z\in D)$ 为单值函数，否则，若有多个 $w\in G$ 与之对应，则称为多值函数
【注】今后有关函数极限、连续、导数、解析等讨论一般只对单值函数而言
单值函数的一对一的映射、满射、一一对应的映射概念与实函数相同

复变函数的极限与连续

复变函数的极限、连续的定义与二元实函数的极限类似
可以从函数的实部和虚部是否存在极限、是否连续判断
当 $f(z)$ 在有界闭区域 $\bar{D}$ 上连续时， $|f(z)|$ 在 $\bar{D}$ 上也连续、有界且可以取到最大值与最小值

复变函数的导数

与一元实函数的导数定义一致，求导基本公式与和差积商复合的求导法则亦可推广

解析函数的定义

如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某个邻域内的每一点可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析（或正则）
如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，就称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，等价于处处可导
不解析的点，称为函数的奇点
在整个复平面上解析的函数称为整函数

任何有理函数 $\begin{align}\frac{a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n}{b_0+b_1z+\cdots+b_mz^m}\end{align}$ 在除去分母为零的点之外的复平面上解析

解析函数的充分必要条件

设 $D$ 是函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的定义域，$z=x+iy$ 是 $D$ 的内点，则 $f(z)$ 在 $z$ 可导的充分必要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，且满足柯西-黎曼方程

$$\begin{cases} \begin{align} &\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ &\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \end{align} \end{cases}$$

此时有 $\begin{align}f’(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\end{align}$ 或 $\begin{align}f’(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\end{align}$
函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域$D$ 内解析的充分必要条件是 $u,v$ 可微且满足柯西-黎曼方程

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